Calcul différentiel
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ce qui se traduit encore, vu la définition des normes d'applications
linéaires continues par :
Vu E E, llull ~a et Vv E E,
lldf(a + u)(v) - df(a)(v) - (d(df)(a)(u))(v)ll ~ cllull llvll
soit encore, a fortiori, si l lul 1 et J Jvl 1 sont inférieurs à a,
16.55.
lldf(a + u)(v) - df(a)(v) - d 2 f(a)(u, v)ll ~ cllull llvll
(puisqu'on a noté d 2 f(a)(u, v) pour (d(df)(a)(u))(v), voir 16.37 au début
du §3).
Mais, par symétrie des rôles joués, on a aussi
16.56.
lldf(a + v)(u) - df(a)(u) - d 2 f(a)(v, u)ll ~ cJlull llvll
dès que llull ~a et llvll ~a.
Par un procédé analogue à celui employé pour justifier le théorème de
Schwarz, on considère alors
g(u, v) = f(a + u + v) - f(a + u) - !(~ + v) + f(a) - d 2 f(a)(u, v).
Si on pose h(s) = f(a + u + s) - f(a + s) - d2 f(a)(u, s), on obtient,
vu la bilinéarité de d 2 f(a) :
h(v) - h(O) = f(a + u + v) - f(a + v) - d 2 f(a)(u, v) - f(a + u) + f(a) ,
= g(u,v).
Par ailleurs la fonction s ~ h( s) est différentiable, et comme
s:!'+d 2 f(a)(u, s) = et:
dh(s)(t) = df(a + u + s)(t) - df(a + s)(t) - d 2 f(a)(u, t)
. = df(a + u + s)(t) - df(a)(t) - d 2 f(a)(u + s, t)
- (df(a + s)(t) - df(a)(t) - d 2 f(a)(s, t))
(toujours la bilinéarité de d 2 f(a)). Sous cette forme, si on impose llull ~
%• llsll ~ % et lltll ~ %•en appliquant deux fois la majoration 16.55, on
a, puisqu'alors llu + sJI ~a,
lldh(s)(t)ll ~ ellu + sll lltll + ellsll lltll
~ 2e(llull + llsll) lltll a fortiori.