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Analyse fonctionnelle
p en 0, telle que g(O), dg(O), ... , d,Pg(O) soient nuls, dans leurs espaces
vectoriels respectifs. Afors llg(u)ll = o(llullP).
On procède par récurrence sur p.
Si p = 1, g est nulle en 0, dg(O) = 0, donc la relation d'existence de
dg(O), se traduit par
g(u) = g(u) - g(O) - dg(O)(u) = o(llull) : c'est le résultat.
On suppose le résultat vérifié à l'ordre p - 1.
Soit g vérifiant les hypothèses du lemme eth = dg, alors h(O) = 0,
dh(O) = 0, ... , dhP- 1 (0) = 0 donc:
Ve> 0, 3a > 0, llull ~a~ llldg(u)lll = lllh(u)lll ~ ellullp-l_
PosonsefJ(t) = g(tu),ona ~ ellullP pour t réel dans [O, 1]. Mais alors (corollaire 16.43) on a
11 a bien g(u) = o(llullP).
•
THÉORÈME 16.54, (Taylor Young). - Soient E et F vectoriels normés, f!
ouvert de E et f différentiable à l'ordre p en a, on a
p
1
f(a + u) = f(a) + L k'dk f(a) (u, ... ,u) +o(llullP).
.
...__...
k=l
(k fois)
Pour justifier ce résultat, on a besoin de montrer que cJ,P f (a) est une
application p linéaire symétrique continue du simple fait qu'elle existe, et
pour cela commencer par justifier le théorème 16.41. laissé en plan. (Pour
les gens pressés, voir 16.59).
Rappelons donc l'énoncé du théorème 16.41 :
Soit f2 ouvert de E, f : f2 1-+ F telle que d 2 f(a) existe, alors d2 f(a) est
bilinéaire symétrique continue de E 2 dans F.
Soient u et v dans E.
Comme d 2 f(a) existe, df existe sur un voisinage de a, et elle est
différentielle en a donc :
Ve> 0, 3a > 0, llull ~a~ llldf(a + u) - df(a)- d(df)(a)(u)lll ~ ellull