Calcul différentiel
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avec la convention suivante : on développe comme une puissance d'ordre k,
. l'
.
âf âf
âf
l ,
âk f
mais expression - 8
- 8
... - 8
est remp acee par â â
â
.
Xj1 Xi2
Xjk
Xj1 Xi2 . . . Xjk
Avec cette convention, on constate que
.
[k]
Il )
[~ âf l
F ( t = L....J âx . Uj
,
j=l
J
et on justifie que p(k)(t) = f ::. Uj , car, si on n'utilise pas trop
[ l
[k]
j=l
J
tôt le théorème de Schwarz, on a, par une récurrence immédiate sur k,
p(k)(t) = f f .. · f a:~~~~·~·t;;. ui1 ... uik•
j1 =1 h=l
ik=l
Jk
]l
car si on redérive, chacun de ces nk termes en redonne n du type
ak+I f(x +tu)
.
â . â .
â . Uji · · . Ujk uik+i' et compte tenu de la convention de
XJk+i XJk · '' X31
notations, c'est ce qu'on obtient en calculant
En fait, cette puissance symbolique s'exploite de deux façons essentielles :
- à l'ordre 2 pour n variables,
- à l'ordre n pour 2 variables, car on dispose alors des formules de
Newton pour calculer les coefficients.
Je ne saurai clore ce paragraphe sans associer à Taylor Lagrange,
son compère, Taylor Young, mais là, comme il s'agit d'un résultat local,
traduisant une limite, on peut revenir au cas de f à valeurs vectorielles,
et établir quelques résultats intermédiaires.
LEMME 16.53. - Soit V un voisinage de 0 dans E, (e.v.n) et g une
application de V dans l'espace vectoriel normé F, différentiable à l'ordre