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Analyse fonctionnelle
En effet, en reprenant les notations 16.49 où cp désigne l'application
t~ x+tu, ona
(! o cp)(k)(t) = dk f(x + tu)(u, u, ... , u), u intervenant k fois,
avec dk f(x +tu) application k-linéaire symétrique de Ek dans R, donc
on peut trouver un réel,(}, entre 0 et 1, donnant ce résultat.
•
On peut, dans le cas de E = Rn, expliciter les formes k-linéaires
symétriques dk f ( x), k variant de 1 à p.
Posons u = (u1, ... , Un)· Six= (x1, ... , Xn) est l'élément générique
de E, (et aussi le point fixé den où on travaille, encore un abus de plus),
on a, en notant Fla fonction t ~ F(t) = f(x +tu) :
F'(t) = f, 8
81 . (x + tu)u; et on a une somme den produits des réels
j=l X3
âf
- 8 (x +tu) et u;.
Xj
On a donc
n ( n
a2f
)
F"(t) = L L â â . (x + tu)uk u;,
j=l k=l Xk X3
et en utilisant le théorème de Schwarz, (j de classe C 2 au moins) on
obtient
n â 2 f
â 2 f
F"(t) = L â 2 (x + tu)uJ + 2 L â ·â (x + tu)u;uk.
.
X·
.
X3 Xk
J=l
J
l~J a 2 1
a 2 1
Les coefficients de â 2 u] et â ·â u;uk sont ceux que l'on l'obtient
.
Xj
x3 Xk
en développant le carré d'une somme de n termes.
16.52. Ceci conduit à définir une puissance symbolique, notée
n âf
[ l
[k]
L âx· u;
j=l
J