Calcul différentiel
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promène de x à y le long d'un segment paramétré par cp : t - x + t(y- x)
pour t variant de 0 à 1, la fonction f o cp est devenue fonction de [O, 1] dans
IR, de classe celle de f puisque cp est de classe C 00 , donc on peut obtenir
la formule des accroissements finis classique, et celle de Taylor-Lagrange.
Or cp 1 (t) = y - x est une constante en t, donc cp 11 = O. Mais alors,
on a les dérivations suivantes. D'abord (f o cp)' = (df o cp)(cp 1 ), puis
t - (df(cp(t)))(cp'(t)) est composée de t - (u(t),v(t)) avec u(t) =
(df o cp)(t) et v(t) = cp'(t), puis de () : (u,v) - u(v), application
bilinéaire continue donc différentiable, de différentielle d()( u, v) définie
par d()(u, v)(h, k) = u(k) + h(v).
Il en résulte que (f o cp)" (t) = d()( u, v)( u' (t), v' (t)) soit encore
(f o cp)"(t) = u'(t)(v(t)) + u(t)(v'(t)) avec ici v'(t) = cp"(t) = 0 et
u'(t) = (df(cp(t)))' = (d 2 (f) o cp)(cp'(t)) d'où
(f o cp )" ( t) = ( d 2 f o cp) ( cp 1 , cp 1 ). Ce calcul, si f est de classe cP se poursuit
et
16.49.
(focp)(P)(t) = (dPfocp(t))(cp 1 (t),cp 1 (t), ... ,cp 1 (t)), (pfois).
On applique ceci avec y = x + u, u dans E, il vient cp(t) = x +tu,
pour t dans [O, 1], et on a:
THÉORÈME 16.50. - Soit n un ouvert de l'espace vectoriel E, f une
application différentiable de n dans R. Si le vecteur u de E est tel que
le segment d'extrémités X et X+ u soit dans 0, il existe() E]O, 1[ tel que
f(x + u) - f(x) = df(x + 6u)(u).
C'est la formule des accroissements finis, (Tome 2, Théorème 7.29)
pour la fonction dérivable f o cp de [O, 1] dans R.
•
De même, si f est de classe CP+l, la formule de Taylor-Lagrange,
(Tome 2, Théorème 7.44), s'appliquera, et donnera:
THÉORÈME 16.51. - Soit f de classe CP+l de 0 ouvert de E dans IR, et u
dans E tel que le segment d'extrémités X et X + u soit dans n. Il existe (),
(fonction de x, u et p) dans JO, 1 [ tel que
p
1
f(x + u) = f(x) + L k' dk f(x)(u, ... , u)
.
._____..
k=l
k fois
+ (p ~ l)!dP+l f(x +Ou)~.
{p+l fois}