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Analyse fonctionnelle
C'est donc une réciproque du théorème 16.27, que nous allons justifier
en reprenant les notations de ce théorème.
On note 'Pi l'application définie sur un voisinage de ai dans Ej
par: xi~ 'Pj(Xj) = f(ai, .. .,aj-1,Xj,aj+l• ... ,an), on sait que
dcpj(aj) existe, et on considère la quantité A(h) = f(a + h) - f(a) -
n
L dcpj(aj)(hj) qu'il s'agit de rendre o(llhll). Pour cela, on passe de a à
j=i
a+ h en ne faisant varier qu'une composante à la fois. En notant gj(hj)
l'expression
gj(hj) = f(ai +hi, ... ,aj-i + hj-1.aj + hj,ai+l• ... ,an)
- f(a1 +hi, ... , aj-i + hj-1. aj, ... , an) - dcpj(aj)(hj),
n
on a A(h) = Lgj(hj). Or l'application hj ~ gj(hj) est différenj=i
tiable en 0, et en notant dfx;(x) la différentielle partielle de f par
rapport à la jième variable, en x, si on note Xj le n-uplet Xj =
(ai+ hi,. . .,aj-1 + hj-1,aj + hj,aj+l,. . .,an) il vient, (un effort)
dgi(hj) = dfx;(Xj) - dcpj(aj). car dcpj(aj) est une application linéaire
continue, donc sa différentielle n'importe où est elle-même. Attention, on
a pris les différentielles en hj, par les valeurs prises sur des vecteurs : on
a donc des applications linéaires continues.
C'est encore dgj(hj) = dfx;(Xj) - dfx;(a), or dfx; était continue en
a, et llXj - alloo ~ llhlloo : Vë > 0, 377 > 0 tel que llhlloo ~ 77 =>
llldfx;(Xj) - dfx;(a)lll ~ ë, soit llldgj(hj)lll ~ e.
Par application de la formule des accroissements finis, on a donc
llgj(hj) - gj(O)ll ~ ellhill• or gj(O) = 0, et finalement
n
Ve> 0, 377 > 0, llhll ~ 77 => llA(h)ll ~ e( L llhill) soit
j=l
~ ellhll1·
On a bien la différentiabilité de f.
•
Comme dans la remarque subtile, (16.33) qui suit le théorème 16.32, on
peut remarquer que l'on peut se passer de l'hypothèsè de différentiabilité
partielle locale pour une variable, car la seule existence de df x 1 (a) assure
que f(a.1 + hi,a2, ... ,an) - f(ai, ... ,an) -dfx 1 (a)(h1) est o(llhill).
Après cette étude des accroissements finis dans le cadre vectoriel, nous
allons préciser les résultats lorsque l'espace d'arrivée est R. Là si on se
Analyse fonctionnelle
C'est donc une réciproque du théorème 16.27, que nous allons justifier
en reprenant les notations de ce théorème.
On note 'Pi l'application définie sur un voisinage de ai dans Ej
par: xi~ 'Pj(Xj) = f(ai, .. .,aj-1,Xj,aj+l• ... ,an), on sait que
dcpj(aj) existe, et on considère la quantité A(h) = f(a + h) - f(a) -
n
L dcpj(aj)(hj) qu'il s'agit de rendre o(llhll). Pour cela, on passe de a à
j=i
a+ h en ne faisant varier qu'une composante à la fois. En notant gj(hj)
l'expression
gj(hj) = f(ai +hi, ... ,aj-i + hj-1.aj + hj,ai+l• ... ,an)
- f(a1 +hi, ... , aj-i + hj-1. aj, ... , an) - dcpj(aj)(hj),
n
on a A(h) = Lgj(hj). Or l'application hj ~ gj(hj) est différenj=i
tiable en 0, et en notant dfx;(x) la différentielle partielle de f par
rapport à la jième variable, en x, si on note Xj le n-uplet Xj =
(ai+ hi,. . .,aj-1 + hj-1,aj + hj,aj+l,. . .,an) il vient, (un effort)
dgi(hj) = dfx;(Xj) - dcpj(aj). car dcpj(aj) est une application linéaire
continue, donc sa différentielle n'importe où est elle-même. Attention, on
a pris les différentielles en hj, par les valeurs prises sur des vecteurs : on
a donc des applications linéaires continues.
C'est encore dgj(hj) = dfx;(Xj) - dfx;(a), or dfx; était continue en
a, et llXj - alloo ~ llhlloo : Vë > 0, 377 > 0 tel que llhlloo ~ 77 =>
llldfx;(Xj) - dfx;(a)lll ~ ë, soit llldgj(hj)lll ~ e.
Par application de la formule des accroissements finis, on a donc
llgj(hj) - gj(O)ll ~ ellhill• or gj(O) = 0, et finalement
n
Ve> 0, 377 > 0, llhll ~ 77 => llA(h)ll ~ e( L llhill) soit
j=l
~ ellhll1·
On a bien la différentiabilité de f.
•
Comme dans la remarque subtile, (16.33) qui suit le théorème 16.32, on
peut remarquer que l'on peut se passer de l'hypothèsè de différentiabilité
partielle locale pour une variable, car la seule existence de df x 1 (a) assure
que f(a.1 + hi,a2, ... ,an) - f(ai, ... ,an) -dfx 1 (a)(h1) est o(llhill).
Après cette étude des accroissements finis dans le cadre vectoriel, nous
allons préciser les résultats lorsque l'espace d'arrivée est R. Là si on se