Calcul différentiel
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16.45. formule des accroissements finis, formule que nous allons exploiter.
COROLLAIRE 16.46. - Soit 0 un domaine, (ouvert connexe) d'un espace
vectoriel normé E et f une application den dans F, (e.v.n), différentiable.
On a f constante si et seulement si sa différentielle est nulle.
Il est évident que f constante est différentiable avec, Vx E n, df(x)
application linéaire nulle de E dans F.
Réciproquement, on suppose que pour tout x de n, ouvert connexe,
df(x) = 0. Soit a E 0 et A = {x; x E 0, f(x) = f(a)}. D'abord,
A = 1- 1 ( {/ (a)}) est un fermé de n comme image réciproque d'un fermé
par f continue car différentiable, non vid~ car a E A, et c'est aussi un
ouvert de n : si XQ est dans A, 3r > 0, Bo(xo, r) c n, or cette boule
ouverte est convexe donc Vy E Bo(xo, r), le segment d'extrémités xo et y
est dans 0, et llldf(z)lll = 0 sur 0, d'où 11/(y) - /(xo)ll ~ OllY - xoll :
on a f(y) = f(xo) = f(a) d'où Bo(xo, r) c A.
Mais alors, A = 0, (ah la connexité!), donc f est constante sur n. •
COROLLAIRE 16.4 7. - Sous les mêmes hypothèses, f est affine continue si
et seulement si df est constante.
En effet, f est affine continue. si et seulement si il existe u linéaire
continue de E dans F telle que f soit la restriction à n de l'application
x ~ f(x) = f(a) + u(x - a), avec a fixé dans n.
Mais alors, si on suppose f affine continue, pour h /:- 0 dans E, on
a f(x + h) - f(x) = u(h), en posant df(x) = u, (linéaire continue) on
a bien f(x + h) - J(x) - df(x)(h) = o(llhll) puisque c'est nul, donc la
différentielle est l'application constante x ~ df(x) = u.
Réciproquement, si pour tout x, df(x) = u, considérons g : n t-+ F
définie par g(x) = f(x) - u(x), elle est différentiable sur n et dg(x) =
df ( x) - u, (la différentielle en x, de u linéaire continue est u, voir exemple
16.20), donc dg est nulle, le corollaire 16.46 donne g constante : si a E n
on a J(x) - u(x) = f(a) - u(a) soit f(x) = f(a) + u(x - a) puisque u
est linéaire : c'est bien la forme de f affine.
•
COROLLAIRE 16.48. - Soient E1, ... , En et F des espaces vectoriels normés,
n
n un ouvert de E = II Ej. a= (ai, ... ' an) dans net f une application
j=l
de n dans F ayant ses n différentielles partielles qui existent dans un
voisinage de a et qui sont continues en a. Afars f est différentiable en a.
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16.45. formule des accroissements finis, formule que nous allons exploiter.
COROLLAIRE 16.46. - Soit 0 un domaine, (ouvert connexe) d'un espace
vectoriel normé E et f une application den dans F, (e.v.n), différentiable.
On a f constante si et seulement si sa différentielle est nulle.
Il est évident que f constante est différentiable avec, Vx E n, df(x)
application linéaire nulle de E dans F.
Réciproquement, on suppose que pour tout x de n, ouvert connexe,
df(x) = 0. Soit a E 0 et A = {x; x E 0, f(x) = f(a)}. D'abord,
A = 1- 1 ( {/ (a)}) est un fermé de n comme image réciproque d'un fermé
par f continue car différentiable, non vid~ car a E A, et c'est aussi un
ouvert de n : si XQ est dans A, 3r > 0, Bo(xo, r) c n, or cette boule
ouverte est convexe donc Vy E Bo(xo, r), le segment d'extrémités xo et y
est dans 0, et llldf(z)lll = 0 sur 0, d'où 11/(y) - /(xo)ll ~ OllY - xoll :
on a f(y) = f(xo) = f(a) d'où Bo(xo, r) c A.
Mais alors, A = 0, (ah la connexité!), donc f est constante sur n. •
COROLLAIRE 16.4 7. - Sous les mêmes hypothèses, f est affine continue si
et seulement si df est constante.
En effet, f est affine continue. si et seulement si il existe u linéaire
continue de E dans F telle que f soit la restriction à n de l'application
x ~ f(x) = f(a) + u(x - a), avec a fixé dans n.
Mais alors, si on suppose f affine continue, pour h /:- 0 dans E, on
a f(x + h) - f(x) = u(h), en posant df(x) = u, (linéaire continue) on
a bien f(x + h) - J(x) - df(x)(h) = o(llhll) puisque c'est nul, donc la
différentielle est l'application constante x ~ df(x) = u.
Réciproquement, si pour tout x, df(x) = u, considérons g : n t-+ F
définie par g(x) = f(x) - u(x), elle est différentiable sur n et dg(x) =
df ( x) - u, (la différentielle en x, de u linéaire continue est u, voir exemple
16.20), donc dg est nulle, le corollaire 16.46 donne g constante : si a E n
on a J(x) - u(x) = f(a) - u(a) soit f(x) = f(a) + u(x - a) puisque u
est linéaire : c'est bien la forme de f affine.
•
COROLLAIRE 16.48. - Soient E1, ... , En et F des espaces vectoriels normés,
n
n un ouvert de E = II Ej. a= (ai, ... ' an) dans net f une application
j=l
de n dans F ayant ses n différentielles partielles qui existent dans un
voisinage de a et qui sont continues en a. Afars f est différentiable en a.