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Analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 16.43. - Soit une application dérivable à droite de [a, b]
dans E espace vectoriel normé, continue, et telle que 11d(t)ll ~ k sur
[a, b[. Afors on a
11(b) - (a)ll ~ k(b- a).
C'est en effet le théorème appliqué avec la fonction g définie par
g(t) =kt.
•
Il va sans dire, (et encore mieux en le disant) que suivant vos goûts
vous pouvez formuler ces résultats avec des dérivées à gauche. Simplement n'oubliez pas que la dérivabilité à droite implique la continuité à
droite, mais pas la continuité.
THÉORÈME 16.44. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, n un
ouvert de E et f une application différentiable de n dans F. Si sur n on
a 11 Id/ (z) 111 ~ k et si x et y de n sont tels que le segment d'extrémités x et
y est dans n, alors 11/(x) - /(y)ll ~ kllx -yll·
Le segment d'extrémités x et y est l'ensemble des x + t(y - x), pour
t réel compris entre 0 et 1, encore noté {ty + (1 - t)x;O ~ t ~ 1}. La
condition est donc vérifiée si n est convexe par exemple.
Soit donc X et y dans n tels que le segment d'extrémités X et y soit
dans n. La fonction t ........ X + t(y - x) étant dérivable sur [O, 1], et f
différentiable sur f!, la fonction : t ....-+ f ( ~ + t(y - X)) devient dérivable
sur [O, 1] et_
11' (t)ll = lldf(x + t(y- x))(y- x)ll ~ llld/(x + t(y- x))lll llY- xll
~ klly- xll·
(Une fois de plus, remarquez l'importance des propriétés de la norme
d'application linéaire continue.)
Le corollaire 16.43 s'applique et donne :
11(1) - (0)11 ~ kllY - xll(l - 0)
soit encore
11/(y) - /(x)ll ~ kllY - xll :
c'est ce que l'on voulait.
•
C'est ce résultat de majoration qui porte le nom de
Analyse fonctionnelle
COROLLAIRE 16.43. - Soit une application dérivable à droite de [a, b]
dans E espace vectoriel normé, continue, et telle que 11d(t)ll ~ k sur
[a, b[. Afors on a
11(b) - (a)ll ~ k(b- a).
C'est en effet le théorème appliqué avec la fonction g définie par
g(t) =kt.
•
Il va sans dire, (et encore mieux en le disant) que suivant vos goûts
vous pouvez formuler ces résultats avec des dérivées à gauche. Simplement n'oubliez pas que la dérivabilité à droite implique la continuité à
droite, mais pas la continuité.
THÉORÈME 16.44. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, n un
ouvert de E et f une application différentiable de n dans F. Si sur n on
a 11 Id/ (z) 111 ~ k et si x et y de n sont tels que le segment d'extrémités x et
y est dans n, alors 11/(x) - /(y)ll ~ kllx -yll·
Le segment d'extrémités x et y est l'ensemble des x + t(y - x), pour
t réel compris entre 0 et 1, encore noté {ty + (1 - t)x;O ~ t ~ 1}. La
condition est donc vérifiée si n est convexe par exemple.
Soit donc X et y dans n tels que le segment d'extrémités X et y soit
dans n. La fonction t ........ X + t(y - x) étant dérivable sur [O, 1], et f
différentiable sur f!, la fonction : t ....-+ f ( ~ + t(y - X)) devient dérivable
sur [O, 1] et_
11' (t)ll = lldf(x + t(y- x))(y- x)ll ~ llld/(x + t(y- x))lll llY- xll
~ klly- xll·
(Une fois de plus, remarquez l'importance des propriétés de la norme
d'application linéaire continue.)
Le corollaire 16.43 s'applique et donne :
11(1) - (0)11 ~ kllY - xll(l - 0)
soit encore
11/(y) - /(x)ll ~ kllY - xll :
c'est ce que l'on voulait.
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C'est ce résultat de majoration qui porte le nom de