Calcul différentiel
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Soit e > 0, on va montrer que pour tout t de [a, b[ on a llf(t)-f(a)ll ~
g(t) - g(a) + e(t - a). Par continuité de f et de g, l'inégalité sera valable
pour t = b, et e étant quelconque, on aura llf(b) - f(a)ll ~ g(b) - g(a),
en faisant tendre ê vers O. Pour établir l'inégalité du départ, on considère
I(e) = {t; t E [a, b]; 'v'u E [a, t], llf(u) - f(a)ll ~ g(u) - g(a) + e(u - a)}.
I(e) est non vide car a E J(e); c'est un intervalle car si ti et t2 sont
dans I(e), avec ti < t2, pour tout t de [ti, t2], et pour tout u E [a, t],
comme u E [a, t2] on a bien l'inégalité voulue en u. C'est un intervalle
fermé, car si e est la borne supérieure de I(e), il existe une suite tn
d'éléments de I(e) qui converge vers e par valeurs inférieures, et les
inégalités llf(tn) - f(a)ll ~ g(tn) - g(a) + e(tn - a) donnent, par
continuité, llf(e) - f(a)ll ~ g(e) - g(a) + e(e - a).
Enfin e = b, car si e < b, on peut écrire que f et g ont une dérivée à
droite en e, donc à e > 0, (le même), on associe h > 0 tel que, pour tout t
de Je, e + h[c [a, b], on ait
Il f(t! = ~(e) - fd(e)ll ~ i et 1 g(t! = !(e) - gd(e)I ~ i
d'où l'on déduit :
llf(t) - f(e)ll ~ (i + llfd(e)ll) (t - e) et gd(e) ~ g(t! = !(e) + i• d'où
ê
a fortiori l'inégalité gd(e)(t - e) ~ g(t) - g(e) + 2(t - e), pour tout t de
]e,e+h[.
Mais alors, pour t E]e, e + h[, on a:
ê
llf(t) - f(e)ll ~ llfd(e)ll(t - e) + 2(t - e)
~ gd(e)(t - e) + i(t -e)
~ g(t) - g(e) + e(t - e).
Par ailleurs e E I ( ê) donc
d'où
llf(e) - f(a)ll ~ g(e) - g(a) + e(e - a),
llf(t) - f(a) ~ llf(t) - f(e)I[ + llf(e) - f(a)ll
~ g(t) - g(a) + e(t - a).
On aurait donc Je, e + h[C I(e), avec e borne supérieure de I(e), c'est
absurde. D'où e = b, et le résultat voulu.
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