330 Analyse fonctionnelle
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Finalement BtBs (0, O) = d 2 f(x)(v, u), et un calcul analogue conduirait à ~~ (0, 0) = d 2 f(x)(u, v) d'où la symétrie voulue.
•
REMARQUE 16.39. - Dans le cas d'une fonction f de classe C 2 , définie
sur 0 ouvert de Rn, à valeurs réelles, la différentielle d'ordre 2 sera une
forme bilinéaire symétrique, et l'étude du signe de la forme quadratique
associée servira dans l'étude des extrema éventuels de f.
REMARQUE 16.40. - Plus généralement, si f est une application de classe
CP den ouvert de E dans F, (E et F e.v.n.) la différentielle d'ordre p est
une application p-linéaire symétrique de EP dans F, continue.
Mais avant de justifier ce résultat, on va montrer un résultat plus
précis. En effet, on a conclu à la symétrie de la différentielle d'ordre 2
en supposant des hypothèses trop fortes. En fait, on a, avec cette fois F
vectoriel quelconque :
THÉORÈME 16.41. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, 0 un
ouvert de E et f une application de 0 dans F telle que d 2 f (a) existe. Afors,
'v'(u,v) E E 2 on a
d 2 f(a)(u,v) = d 2 f(a)(v,u).
Mais, ne mettons pas la charrue avant les bœufs : la justification de ce
résultat utilise la formule des accroissements finis que nous allons donc
étudier au préalable.
4. Formule des accroissements finis
Au chapitre 7, (Tome 2), nous avons établi un certain nombre de
résultats : formule des accroissements finis, formules de Taylor Lagrange
et Young, dans le cas de fonctions de variable réelle à valeurs réelles. Ce
sont ces résultats que nous cherchons à étendre au cas général des espaces
vectoriels normés.
Commençons par un résultat technique.
THÉORÈME 16.42. - Soit f continue de [a, b] dans E espace vectoriel normé
et g continue de [a, b] dans R. On suppose f et g dérivables à droite sur
[a, b], avec llJ~(t)ll ~ g~(t) sur [a, b[. Afors llf(b) - f(a)ll ~ g(b) - g(a).
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Finalement BtBs (0, O) = d 2 f(x)(v, u), et un calcul analogue conduirait à ~~ (0, 0) = d 2 f(x)(u, v) d'où la symétrie voulue.
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REMARQUE 16.39. - Dans le cas d'une fonction f de classe C 2 , définie
sur 0 ouvert de Rn, à valeurs réelles, la différentielle d'ordre 2 sera une
forme bilinéaire symétrique, et l'étude du signe de la forme quadratique
associée servira dans l'étude des extrema éventuels de f.
REMARQUE 16.40. - Plus généralement, si f est une application de classe
CP den ouvert de E dans F, (E et F e.v.n.) la différentielle d'ordre p est
une application p-linéaire symétrique de EP dans F, continue.
Mais avant de justifier ce résultat, on va montrer un résultat plus
précis. En effet, on a conclu à la symétrie de la différentielle d'ordre 2
en supposant des hypothèses trop fortes. En fait, on a, avec cette fois F
vectoriel quelconque :
THÉORÈME 16.41. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, 0 un
ouvert de E et f une application de 0 dans F telle que d 2 f (a) existe. Afors,
'v'(u,v) E E 2 on a
d 2 f(a)(u,v) = d 2 f(a)(v,u).
Mais, ne mettons pas la charrue avant les bœufs : la justification de ce
résultat utilise la formule des accroissements finis que nous allons donc
étudier au préalable.
4. Formule des accroissements finis
Au chapitre 7, (Tome 2), nous avons établi un certain nombre de
résultats : formule des accroissements finis, formules de Taylor Lagrange
et Young, dans le cas de fonctions de variable réelle à valeurs réelles. Ce
sont ces résultats que nous cherchons à étendre au cas général des espaces
vectoriels normés.
Commençons par un résultat technique.
THÉORÈME 16.42. - Soit f continue de [a, b] dans E espace vectoriel normé
et g continue de [a, b] dans R. On suppose f et g dérivables à droite sur
[a, b], avec llJ~(t)ll ~ g~(t) sur [a, b[. Afors llf(b) - f(a)ll ~ g(b) - g(a).