Calcul différentiel
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Reste la symétrie.
Soient u et v fixés dans E, on considère l'application 8 de JR 2 dans E
définie par B(s, t) = x +su+ tv.
On a 8(0, 0) = x En ouvert donc il existe 0 voisinage de (0, 0) dans
IR 2 , sur lequel l'application H définie par (s, t) 'V't f(x +su+ tv) est
définie. On a H = f o 8 avec f de classe C 2 sur n et 8 de classe C 00 ,
(ses dérivées partielles en s et t existent et sont continues, à tout ordre)
a 2 H
a 2 H
donc H est de classe C 2 , si bien que asat (0, 0) = atas (0, 0) d'après le
théorème de Schwarz, (Théorème 16.6.), appliqué aux composantes de H.
Or ~~ (so, to) est la dérivée, en so, de la fonction qui à s associe
f(x +su+ tov), c'est donc, (exemple fondamental 16.25) :
8H
as(so, to) = df(x +sou+ tov)(u).
8H
Posons G(s, t) = df(x +su+ tv)(u) =as (s, t).
A son tour
a 2 H
ac
atas (so, to) = 8t (so, to)
_ 1 . G(so, to + h) - G(so, to)
- lm
h
.
h-+O
On a donc:
8 2 H(
)- l· (df(x+sou+tov+hv)-df(xo+sou+tov))()
J::IJ.a s0, to - lm
h
u .
u~ S
h-+0
0
df(x +sou+ tov + hv) - df(xo +sou+ tov) r (E F) l'
n a
h
E Le
,
, et application de L,c(E,F) x E f-+ F qui à un couple ( bilinéaire continue puisque llip(u)ll ~ lll'Plll llulJ. Comme ici u est fixé,
et que g = df est différentiable, et t 'V't x + sou + tv dérivable, on sait,
(toujours l'exemple fondamental) que
1 . df(x +sou+ tov + hv) - df(x +sou+ tov)
lm ~~~~~~~~~~~~~~~h-+ O
h
= d(df)(x +sou+ tov))(v)
8 2 H
donc atas (so, to) = [d(df(x +sou+ tov)(v)](u)
= d 2 f(x +sou+ tov)(v,u), avec nos conventions de
départ.