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Analyse fonctionnelle
3. Différentielles d'ordre supérieur
Soit E et F deux espaces vectoriels normés, n un ouvert de E et f
une application différentiable de n dans F. La différentielle df, est une
application den dans Cc(E, F). On la suppose à son tour différentiable,
donc d(df), notée d 2 f est une application den dans Cc(E, Cc(E, F)). Il
y a une convention de notations à adopter.
Si x E n, d(df)(x) est un élément de Cc(E, Cc(E, F)) et u -
[d(df)(x)](u) est linéaire, continue de E dans Cc(E, F).
Puis, pour u fixé dans E, et v variant dans E, on a une application
linéaire continue: v - [(d(df)(x))(u)](v) de E dans F.
16.37. On notera d 2 f(x)(u, v) cet élément de F, valant [(d(df)(x))(u)](v).
Mais ce serait plus commode s'il n'y avait pas toutes ces parenthèses. Ce
sera possible si f est de classe C 2 ' et même du simple fait de l'existence
de la différentiabilité d'ordre 2. Voyons d'abord le plus simple.
THÉORÈME 16.38. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés et n un
ouvert de E. Si f est de classe c 2 sur n l'application ( u, V) - d 2 f (X) ( u, V)
est bilinéaire symétrique continue de Ex E dans F, avec F ~Rn.
(On suppose F ~!Rn pour appliquer le théorème de Schwarz).
Le X qui figure est, je vous rappelle, le point de n où l'on prend la
différentielle d'ordre 2. Dans le préambule fixant les notations on a justifié
des continuités partielles, pas la continuité par rapport au couple (u,v).
Par contre, la bilinéarité a été justifiée.
Comme v - [(d(df)(x))(u)](v) est linéaire continue, on a
l l[(d(df)(x))( u)]( v) 11 ~ 11 l(d(df)(x) )( u)l 111 lvl I·
Puis, u - (d(df)(x))(u) est elle-même linéaire continue de E dans
Cc(E,F), donc la norme de l'application linéaire continue (d(df)(x))(u)
vérifie:
lll(d(df)(x))(u)lll ~ llld(df)(x)lll llull,
d'où finalement
ll[(d(df)(x))(u)](v)ll ~ llld(df)(x)lll Jlull llvll:
en tant qu'application bilinéaire, d 2 J(x) est continue, (Tome 2, Théorème
6.45), 01i d 2 f(x) représente d(df)(x).