Calcul différentiel
327
Les np applications x ......+ ( 8
8 li )
sont donc les composantes de
Xj 16 i6 p
16 ;6 n
l'application df de n dans L(Rn' RP), et on a f de classe C 1 ' c'est-à-dire
df continue, si et seulement si chaque 8
8 li est continues.
•
Xj
On peut remarquer que, pour x fixé, df(x), en tant qu'application
linéaire de !Rn dans !RP va avoir une matrice par rapport aux bases
canoniques de !Rn et !RP. En notant Y la matrice colonnes des Yi. 1 ~ i ~ p,
coordonnées dans !RP de df ( x) ( h), A la matrice de df ( x) et H la matrice
colonne des coordonnées de h, on doit avoir la relation matricielle Y =
n
AH, d'où l'on tire la ième coordonnée Yi= L aijhj, si A= (aij) 16 i6 P.
j=l
16 ;6 n
Comme Yi= dli(x)(h) = t 8
81 i. (a)hj. c'est que aij = 8
8 1i_ (a).
j=l X3
X3
DÉFINITION 16.36. - Soit n un ouvert de !Rn et f une application de n
dans !RP, différentwble en a de 0. On appelle matrice jacobienne de f en
a la matrice
J(f)(a) = (aâli (a))
.
Xj
16 i6 p
16 j6 n
C'est donc la matrice de df(a) dans les bases canoniques de Rn et RP.
Si on veut considérer le cas des différentielles d'ordre 2, 3, ou plus
on remplace f : 0 1--+ RP, par df : 0 1--+ L(Rn, RP) qui admet pour
âfcomposantes les â i • On aura donc f de classe C 2 sur n si et seulement
Xj
.
l
le dé"'
"ll d'rd 2
82 li .
si, en p us, toutes s nvees partie es o re , â
â existent et sont
Xj · Xk
continues sur n, et plus généralement f sera de classe cr si et seulement
si toutes les dérivées partielles d'ordre total inférieur ou égal à r, existent
sur n et sont continues.
On sait alors, (Théorème de Schwarz et Corollaire 16.8), qu'il y en
a beaucoup d'égales, c'est ce que nous allons généraliser au paragraphe
suivant.