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Analyse fonctionnelle
REMARQUE SUBTILE 16.33. - Pour j = 1, si on considère l'expression
âf
/(a1) - f(ao) - - 8 (a)h1 =
x1
âf
f(o:1+h1,0:2, · · ·, O!n) - /(o:i, · · ·, O!n) - h1 - 8 (a)
x1
cette expression est o(Jh11) du simple fait l'existence de 8
81 (a). Il est
x1
donc inutile de passer par le point z1, et on peut donc se passer de la
continuité en a de 8
8 f , ce qui donne le résultat suivant : si f : n f-+ IR,
x1
(0 ouvert de Rn) admet n - 1 dérivées partielles dans un voisinage de
a, continues en a, la dernière dérivée partielle existant en a, alors f est
différentiable en a.
COROLLAIRE 16.34. - Soit n un ouvert de Rn et f une application de
n dans R, elle est de classe C 1 sur n si et seulement si chaque dérivée
. ll âf .
n
.
n
partie e - 8 existe sur u et est continue sur u.
Xj
Car avec { ei, ... , en} base canonique de E, si f est de classe 0 1
sur n on a df(x) = t 8
81 _ (x)ej, (égalité 16.30), donc les applications
j=l X3
âf
x ~ - 8 (x) sont les composantes de df dans la base duale de E* : elles
. Xj
sont continues.
Réciproquement, si ces applications sont continues sur n le théorème
16.32 s'applique en chaque X de 0, donc f est différentiable sur 0, et dj
est continue puisque ses fonctions composantes le sont.
•
Si on considère alors f : 0 f-+ RP, (0 ouvert de Rn), de fonctions
composantes les /i, en appliquant le théorème 16.26 on obtient:
COROLLAIRE 16.35. - Soit 0 un ouvert de Rn et f une application de 0
dans RP. Elle est de classe C 1 si et seulement si chaque ââfi existe sur n,
Xj
en étant continue sur n.