Calcul différentiel
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Comme on sait, (Théorème 16.27) que la différentielle doit être df (a) =
n 8f
n 8f
:L: ax. (a)e;, on forme la quantité t(a + h) - t(a) - :L: ax. (a)hj. et
j=l J
j=l J
on va passer de a + h au point a en ne faisant varier qu'une variable à la
fois.
Je note donc ao = a = (a1, a2, ... , an) et, pour j variant de 1 à n,
aj = (a1 + h1, ... , O!j + hj, O!j+I. ... , an), donc an= a+ h.
n
On a f(a + h) - f(a) = f(an) - f(ao) = L(f(aj) - f(aj-1)).
j=l
Comme on passe de aj-1 à aj en ne faisant varier que la jÏème composante de O!j à O!j + hj, par application de la formule des accroissements
finis à la fonction Xj ~ f(a1 + h1, ... ,O!j-1 + hj-I.Xj,O!j+I• ... ,an)
entre O!j et O!j + hj, (c'est possible si llhll est assez petit pour que l'on
reste dans le voisinage V), il existe ()j E]O, 1[ tel que
On note Zj = (a1 +hi, ... , O!j--1 + hj-1, O!j + ()jhj, O!j+l• ... , an), on a
donc des points z1, ... , Zn tels que f(aj) - f(aj-1) = hj 8
81 (zj) d'où
Xj
n 8f
n ( 8f
8f
)
f(a+ h) -f(a)- L:-(a)h- = L
-(z·)- -(a) h-.
j=l axj
J
j=l axj J
axj
J
Or llzj - ail ~ llhll, et les ::. sont continues en a donc, Ve> 0, 377 > 0
J
tel que llhll ~ 77 implique, pour chaque j. 1 8
81 (zj) - 8
81 (a)I ~:...d'où,
Xj
Xj
n
comme lhjl ~ llhll = sup {lhjl} finalement on a
j=l...n
n 8J
t(a + h) - t(a) - :L: a j (a)hj ~ cllhll. ce qui montre bien la diffé- 1 X
J=
rentiabilité en a.
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