324 Analyse fonctionnelle
Si on note ( ei, e2, ... , en) la base canonique de !Rn, l'élément x =
n
(x1, ... ,xn) est encore x = LXiei et l'application x - Xi est la forme
i=l
duale, ei, de ei. Elle est linéaire continue de !Rn dans IR, donc différentiable
partout, de différentielle en chaque x, elle-même, (exemple 16.20), donc
dej(x)(h) = ej(h) = hj, (attention, c'est dej(x) qui est égale à ej), si
bien que l'égalité 11.29 s'écrit encore :
df(a)(h) ~ (t. ~ (a)ej) (h), d'où
16.30. L'égalité entre applications linéaires: df(a) = f :;. (a)ej.
j=l
J
Où sont les abus de notations? J'y viens, j'y viens ... Qui n'a pas, une
fois dans sa vie, utilisé l'expression « soit la fonction cos x » au lieu de «la
fonction cosinus » ?
Cette confusion, ici revient à noter « soit la fonction x j » au lieu de
ej; puis comme dej(x) = ej, on confond l'application x - dej(x) avec la
valeur prise ej, donc on identifie dej avec ej, mais comme on identifie ej
et Xj, (je sais, c'est affreux), finalement ej est identifé à dxj et on obtient
n
une expression df(a) = L 8
81 . (a)dxj encore notée ... df. Cette écriture
j=l X3
16.31. df = f :;. dxj, (où même a ne figure plus) peut donc se lire
j=l
J
de deux façons: mathématiquement, la forme linéaire df est décomposée
dans la base duale des ej notés dx j ; physiquement les dx j sont les
valeurs prises par les formes duales, et à ces « petits accroissements »
correspondent « l'accroissement» df de la fonction.
Il n'y a aucun inconvénient à ce que ces deux points de vue coexistent,
le contexte éclairant ce que l'on fait. Reprenons le point de vue mathématique pour étudier une réciproque du théorème 16.27.
THÉORÈME 16.32. - Soit 0 un ouvert de Rn, et f : 0 f-t IR une fonction
ayant ses n dérivées partielles dans un voisinage V de a continues en a.
Afors f est différentiable en a.