Calcul différentiel
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Comme on compose f différentiable en a et 8j différentiable en °'i• avec
ej(O.j) =a, on a bien cp différentiable en O.j et
.
dcpj(a)(hj) = df(8j(a.j)) o d8j(a.j)(hj)
= df(a)((O,O, ... ,0, hj,O, ... ,0)).
n
Comme h = ~)o, 0, ... , 0, hj, 0, ... , O) et que df(a) est linéaire, il en
j=l
n
résulte que df(a)(h) = L dcpj(a)(hj)·
•
j=l
La réciproque est fausse, mais deviendra vraie si on met des hypothèses donnant des applications de classe C 1 . Nous aurons besoin pour
la justifier de la formule des accroissements finis, c'est pourquoi elle ne
sera justifiée qu'au §4. Pour l'instant, précisons ce qui se passe dans le
cas de n ouvert de Rn et de f à valeurs réelles.
COROLLAIRE 16.28. - Soit S1 un ouvert de !Rn, et f une application de
n dans R différentiable en a de n. Al,ors les dérivées partielles 8
8 f (a)
x· 3
existent, et pour h = (hi, ... , hn) on a :
n âf
df(a)(h) = L âx. (a)hj·
j=l
3
En effet, dans ce cas la jÏème application partielle est de variable réelle à valeurs réelles, différentiables en °'i• donc dcpj(a)(hj) =
dcpj(a)(hj · 1) = hjdcpj(a)(l) par linéarité de dcpj(a) et on a vu,
(Théorème 16.23), que dcpj(a)(l) est la dérivée, en °'i• de l'application
Xj ""'+ f(a.i, ... , °'j-I. Xj, O.j+I. ... , an), c'est-à-dire ce que nous avons
appelé, (16.1), la dérivée partielle de f en °'i·
n
L'égalité df(a)(h) = Ldcpj(a)(hj) devient donc
j=l
16.29
n âf
df(a) = L:- 8 . (a)hj·
j=l X3
Un brin de notations, (et d'abus de notations)
•