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Analyse fonctionnelle
seulement si chacune de ses composantes fi : n 1--+ Fi l'est: De plus df(x)
est alors l'application de E dans F ayant les dfi ( x) pour composantes.
p
En effet, s'il existe u linéaire continue de E dans F = II Fi telle
i=l
que f(x + h) - f(x) - u(h) = o(llhll), c'est que, en notant fi et Ui les
composantes de f et de u, on a :
Vé > 0, 3a > 0, l lhJ 1 ~ a =>
sup 11/i(x + h) - fi(x) - Uï(h)ll ~ éllhll·
i=l, ... ,p
Il est donc équivalent de dire que chaque fï est différentiable en x avec
dfi ( x) = Ui puisque u est continue si et seulement si chaque Ui est
continue.
•
Considérons maintenant le cas où la structure produit est au départ.
Les choses sont moins simples.
n
Soit n un ouvert de E = II Ej. et f une application den dans F,
j=l
espace vectoriel normé.
Soit a = (ai, a2, ... , an) dans n. L'application (}j de Ej dans E
définie par Xj---+ (ai, ... ,aj-I.Xj,aj+I.····an) est continue, (n -1
composantes constantes, et une identité), donc il existe un ouvert Oj
contenant ai tel que Oj(Oj) c n. On définit alors la ième application
partielle 'Pi qui à Xj tel que (ai, ... ,aj-I.Xj,aj+l····•an) soit dans
n, associe 'Pj(Xj) = f(Oj(Xj)). On a:
THÉORÈME 16.27. - Soit n un ouvert de l'espace vectoriel produit normé
n
E = II Ej, et f une application de n dans l'espace vectoriel normé F. Si
j=l
f est différentiable en a, chaque application partielle 'Pj l'est en aj et de
n
plus df(a)(h) = L dcpj(a)(hj), si h =(hi, ... , hn).
j=l
En effet 'Pj = f o (}j· Or l'application (}j admet n - 1 applications
constantes, donc différentiables de différentielle en aj nulle; et une
composante est Xj ---+ Xj, de différentielle hj ---+ hj (exemple 16.20).