Calcul différentiel
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ce qui équivaut à f différentiable en xo avec df(xo)(h) = hf'(xo), d'où
en particulier df(xo)(l) = f'(xo).
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COROLLAIRE 16.24. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, n un
ouvert de E et f : n f-+ F différentiable en xo. Si c.p est une application de
I intervalle de IR dans n, dérivable en to, avec c.p(to) = xo, on aura f o c.p
dérivable en to et (f o c.p)'(to) = df(c.p(to))(c.p'(to)).
Vous pouvez remarquer qu'on fait la seule chose raisonnable avec
l'application linéaire df ( c.p( to)) et le vecteur c.p' ( to) : on prend l'image du
vecteur par l'application linéaire.
En effet c.p dérivable en to est différentiable, (Théorème 16.23), donc
f o c.p est différentiable, (Théorème 16.17), donc dérivable, (Théorème
16.23), puisque la variable est réelle. De plus on a
(f o c.p)'(to) = (d(f o c.p)(to))(l) = [df(c.p(to)) o dc.p(to)](l)
= ( df ( c.p( to))) ( dc.p( to) (1)) = df ( c.p(to)) ( c.p' ( to) ).
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Il est bon d'avoir un stock de parenthèses pour le calcul différentiel
sinon, très rapidement, on ne sait plus qui agit sur quoi. Et cela n'est rien
à côté des distributions !
EXEMPLE FONDAMENTAL 16.25. - Soit E, F deux e.v.n., n un ouvert de
E, f : n f-+ F différentiable en a E n. Soit X dans E. L'application
c.p: t..,,.. f(a + tx), (t réel) est dérivable en 0 de dérivée c.p 1 (0) = df(a)(x).
Car (} : t ..,,.. a + tx est dérivable en 0 et 0 1 (0) = x, donc c.p = f o (}
est dérivable en 0 et on applique le corollaire 16.24. Il faut remarquer que
0(0) = a E n ouvert, donc il existe I intervalle ouvert contenant 0, tel
que O(J) c n.
. f(a + tx) - f(a)
.
, . ,
Ce df (a) ( x) = hm
est parfois appelé derwee de f
t-+0
t
tER*
en a suivant le vecteur x.
Venons-en à des théorèmes qui vont permettre de ramener l'étude de
la différentiabilité à des cas simples.
THÉORÈME 16.26. - Soient F1, F2, ... , Fp et E des espaces vectoriels
p
normés, n un ouvert de E et f une application de n dans F = II Fi espace
i=l
vectoriel produit normé par 11 l loo· L'application f est différentiable si et