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Analyse fonctionnelle
Alors u est différentiable sur E et du( x) ( h) est la somme des n expressions du type u(x1, ... , Xi-1' hi, Xi+i. ... , Xn), où une seule composante
Xi est remplacée par hi.
En effet, avec x = (x1, ... , Xn) eth= (h1, ... , hn) on a u(x + h) =
u(x1 + hi,x2 + h2, ... ,Xn + hn) est une somme de 2n termes, (pour
chaque valeur de l'indice i on choisit Xi ou hû du type
u(x1 ou hi, x2 ou h2, ... , Xn ou hn).
Il y a là dedans u(xi, ... , Xn), puis n termes dépendant linéairement
de h: les u(x1, ... , Xi-1, hi, Xi+l• ... , Xn); puis des termes contenant au
moins 2 composantes de h.
Avec a > 0 tel que, Vi, llxill :::; a, si on impose llhJJoo :::; a, on a:
Jlhill:::; IJhlJoo:::; a, on aura donc
IJu(x + h) - u(x) - du(x)(h)ll :::; (2n - n - l)Kan- 2 11hll~,
puisqu'il reste 2n - n - 1 termes du type u(x1 ou hi, x2 ou h2, ... , Xn
ou hn), chaque llhill et llxill étant majorée par a, et deux hi au moins y
figurant.
Cette majoration est du type JJhJJe-(JlhJI) avec lim c(h) = 0, on a bien
h-+O
u différentiable avec la différentielle indiquée, car la continuité de du(x)
est facile à justifier
•
APPLICATION 16.22. - Si X E Mn(IR), X ~ det(X) est différentiable,
la différentielle en X calculée en H étant la somme des n déterminants
obtenus en remplaçant successivement dans det X la jÏème colonne de X
par la jÏème de H. On peut aussi travailler en lignes.
Lien avec la dérivation. On a :
THÉORÈME 16.23. - Soit n un ouvert de IR, f : n f-+ F, (F e.v.n) une
application. On a f dérivable en xo si et seulement si f est différentiable
en xo et.f'(xo) = df(xo)(l).
Car f dérivable en xo, de dérivée f'(xo) équivaut à avoir
lim f(xo + ~ - f(xo) - f 1 (xo) = 0, soit encore, en définissant c(h)
h-+O
h;éO
f(xo + h) - f(xo) 1
,
•
•
par c(h) =
h
- f (xo) pour h =f. 0, a avoir hm c(h) =O.
h-+O
Mais alors on peut écrire
f(xo + h) - f(xo) - hf'(xo) = he-(h) avec lim c(h) = 0:
h-+0