Calcul différentiel 319
C'est encore
g(f(xo) + u(h) + JJhJJa(h)) = g(yo) + (v o u)(h) + JJhJJe(h),
avec k = u(h) + JJhJJa(h), et la relation 16.19 définissant f3(k):
g(yo) + v[u(h) + JlhJJa(h)] + Jl[u(h) + llhJJa(h)Jllf3[u(h) + IJhlJa(h)]
= g(yo) + (v o u)(h) + llhlle(h).
Comme v est linéaire, v o u(h) figure dans les deux membres, et il reste
IJhlJv(a(h)) + Jl[u(h) + llhJJa(h)]Jlf3[u(h) + llhJJa(h)] = llhlle(h).
On a donc, pour h =F 0, après simplification par JlhJJ,
1
lle(h)JI ~ ll~(a(h))JJ + ïihIT(JJJuJJI + Jla(h)Jl)Jlhll llf3[u(h) + IJhJJa(h)]JI
~ IJv(a(h)JI + (JJJuJJI + JJa(h)Jl)IJf3[u(h) + llhJJa(h)]JJ,
et le majorant tend vers 0 si h tend vers 0 puisque v est continue ainsi
que u et on compose des limites. Mais lim e(h) = 0 c'est exactement ce
h-+O
qu'il faut pour dire que go f est différentiable en xo avec d(g o f)(xo) =
dg(f(xo)) o df(xo), (=lev ou de la justification).
•
Quelques exemples importants
EXEMPLE 16.20. - Soient E et F vectoriels normés, si u E Lc(E, F), u
est différentwble sur E et du( x) = u.
Car u(x + h) - u(x) = u(h) : on a d'emblée la partie linéaire en h
de l'accroissement dè la fonction, en posant du(x) = u, on a bien du(x)
linéaire continue de E dans F et u(x + h) - u(x) - du(x)(h) = 0, donc
c'est o(JJhJI).
La différentielle du est donc l'application constante : x ~ u de E dans
Lc(E, F), du est à son tour différentiable et d 2 u(x) =O. En fait u est de
classe C 00 avec du, fonction constante et dJ'u = 0, Vp ~ 2.
n
EXEMPLE 16.21. - Soit u définie sur E = 11 Ei, un espace vectoriel
i=l
normé, produit des Ei, espaces vectoriels normés, à valeurs dans F, u
étant supposée n-linéaire continue. Il existe une constante K telle que
n
V(xi. ... , Xn) E E, JJu(x)JI ~ K 11 JlxiJJ, (continuité des applications ni=l
linéaire, voir Tomes 2, Théorème 6.45). On suppose E normé par Il lloo·