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Analyse fonctionnelle
poser constamment la question suivante : quelle est la nature des objets
manipulés. Sinon on va très vite à ajouter des applications linéaires et
des vecteurs ou n'importe quoi.
16.14. Comme Lc(E, F) est normé par la norme d'application linéaire
continue, si f est différentiable sur n, on dit qu'elle est de classe C 1 si df
est continue de 0 dans Lc(E, F).
Mais à son tour df est peut-être différentiable en xo, ou sur O. Dans
ce cas, on notera d 2 f(xo) au lieu de d(df)(xo) la différentielle d'ordre 2
en xo de f. On a donc
16.15
d 2 f (xo) E Lc(E, Lc(E, F))
et on comprend que très vite cela va devenir non manipulable sauf si on
peut simplifier comme nous le verrons au paragraphe suivant consacré
aux fonctions de classe CP.
Revenons pour l'instant aux propriétés des fonctions différentiables.
THÉORÈME 16.16. - Si f est différentiable en xo, elle est continue en xo.
Car, avec df ( xo) linéaire continue de E dans F telle que
f(xo + h) - f(xo) = df(xo)(h) + o(llhll), il est évident que
lim f(xo + h) - f(xo) = 0, d'où la continuité de f en xo.
•
h-+O
THÉORÈME 16.17. - Soient E, F, G trois espaces vectoriels normés, U un
ouvert de E, V ouvert de F, f une application de U dans V et g une
application de V dans G. Si f est différentiable en xo et g en Yo = f(xo)
alors go f est différentiable en xo et d(g o f)(xo) = dg(f(xo)) o df(xo).
Comme f est différentiable en xo et g en yo, on peut, pour h et k
non nuls dans E et F respectivement, et de norme assez petite pour que
xo + h E U et YO + k E V, définir les fonctions a et f3 par
16.18. f(:io + h) = f(xo) + u(h) + llhlla(h), avec u = df(xo), et
16.19. g(yo + k) = g(yo) + v(k) + llkllf3(k), avec v = dg(yo), et on a
lim a(h) = 0 ainsi que lim f3(k) = O. En posant a(O) = 0 et {3(0) = 0,
h-+0
k-+O
les relations précédentes sont aussi, vérifiées en O.
On définit alors, pour h non nul, e(h) par J'égalité.
(go f)(xo + h) =(go f)(xo) + (v o u)(h) + llhlle(h).