Calcul différentiel
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f(xo + h) - f(xo) - u(h) par llhll), et telle que lim a:(h) = O. Ce qui
h-+O
revient encore à dire qu'en posant a:(O) = 0, a: est continue en O.
THÉORÈME 16.11.bis - Soit f une application de n ouvert de E, dans
F, (E et F e.v.n.). S'il existe u linéaire continue de E dans F telle que
f(xo + h)- f(xo)-u(h) = o(llhll), u est unique à vérifier cette condition.
Car si on a u et v linéaires continues de E dans F telles que
f(xo+h)-f(xo)-u(h) = o(llhll) et f(xo+h)-f(xo)-v(h) = o(llhll),
par soustraction (v - u)(h) = o(llhll).
Soit donc ê > 0, 3a: > 0, llhll ~ a: ::} ll(v - u)(h)ll ~ ellhll
h
d'où par homothétie, pour llhll = a:, ÏÎhîÏ décrit la sphère unité de
E et ll(v - u) Cl~ll) Il ~ ê: la norme d'application linéaire continue,
IJlv-ulll, qui est le sup des ll(v-u)(x)ll, x sur la sphère unité, (Tome 2,
Théorème 6.24), est majorée pare, ceci pour tout ê > 0, donc lllv-ulll = 0
d'oùv =u.
•
DÉFINITION 16.11. - Si f est différentiable en xo on appelle différentielle
de f en xo, notée df(xo), l'unique application linéaire continue u de E
dans F telle que f(xo + h) - f(xo) - u(h) = o(llhll).
La recherche de la différentiabilité est alors facile.
On donne un accroissement h à la variable, et on cherche, dans
l'accroissement f(xo + h) - f(xo) la partie linéaire en h. On la note
df(xo)(h). Si df(xo) est continue en tant qu'application linéaire, on
vérifie alors si f(xo + h) - f(xo) - df(xo)(h) est o(llhll). Si oui, f est
différentiable, sinon elle ne l'est pas. De même si df(xo) est non continue,
f n'est pas différentiable.
REMARQUE 16.12. - Si l'espace vectoriel normé E est de dimension finie
toute application linéaire est continue: ce point n'est plus à vérifier, (Tome
2, Corollaire 6.31).
DÉFINITION 16.13. - Soient E et F espaces vectoriels normées, n ouvert
de E et f : n 1--T F. On dit que f est différentiable sur n si pour tout X de
0, df(x) existe. Dans ce cas l'application df de 0 dans Lc(E, F) qui à x
associe df(x) est la différentielle de f.
Ne pas confondre donc différentielle de f en x et différentielle de
f. D'ailleurs il est bon, en calcul différentiel plus qu'ailleurs, de se
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f(xo + h) - f(xo) - u(h) par llhll), et telle que lim a:(h) = O. Ce qui
h-+O
revient encore à dire qu'en posant a:(O) = 0, a: est continue en O.
THÉORÈME 16.11.bis - Soit f une application de n ouvert de E, dans
F, (E et F e.v.n.). S'il existe u linéaire continue de E dans F telle que
f(xo + h)- f(xo)-u(h) = o(llhll), u est unique à vérifier cette condition.
Car si on a u et v linéaires continues de E dans F telles que
f(xo+h)-f(xo)-u(h) = o(llhll) et f(xo+h)-f(xo)-v(h) = o(llhll),
par soustraction (v - u)(h) = o(llhll).
Soit donc ê > 0, 3a: > 0, llhll ~ a: ::} ll(v - u)(h)ll ~ ellhll
h
d'où par homothétie, pour llhll = a:, ÏÎhîÏ décrit la sphère unité de
E et ll(v - u) Cl~ll) Il ~ ê: la norme d'application linéaire continue,
IJlv-ulll, qui est le sup des ll(v-u)(x)ll, x sur la sphère unité, (Tome 2,
Théorème 6.24), est majorée pare, ceci pour tout ê > 0, donc lllv-ulll = 0
d'oùv =u.
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DÉFINITION 16.11. - Si f est différentiable en xo on appelle différentielle
de f en xo, notée df(xo), l'unique application linéaire continue u de E
dans F telle que f(xo + h) - f(xo) - u(h) = o(llhll).
La recherche de la différentiabilité est alors facile.
On donne un accroissement h à la variable, et on cherche, dans
l'accroissement f(xo + h) - f(xo) la partie linéaire en h. On la note
df(xo)(h). Si df(xo) est continue en tant qu'application linéaire, on
vérifie alors si f(xo + h) - f(xo) - df(xo)(h) est o(llhll). Si oui, f est
différentiable, sinon elle ne l'est pas. De même si df(xo) est non continue,
f n'est pas différentiable.
REMARQUE 16.12. - Si l'espace vectoriel normé E est de dimension finie
toute application linéaire est continue: ce point n'est plus à vérifier, (Tome
2, Corollaire 6.31).
DÉFINITION 16.13. - Soient E et F espaces vectoriels normées, n ouvert
de E et f : n 1--T F. On dit que f est différentiable sur n si pour tout X de
0, df(x) existe. Dans ce cas l'application df de 0 dans Lc(E, F) qui à x
associe df(x) est la différentielle de f.
Ne pas confondre donc différentielle de f en x et différentielle de
f. D'ailleurs il est bon, en calcul différentiel plus qu'ailleurs, de se