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Analyse fonctionnelle
x1, ... , Xn faisant intervenir le même nombre de dérivations par rapport
à chaque Xi> existent dans un voisinage V de a, et sont continues sur ce
voisinage, elles sont égales.
Attention au changement d'hypothèses : on suppose la continuité sur
un voisinage V de a. En effet, ces deux dérivées sont les dérivées secondes
de deux dérivées d'ordre p - 2. On va procéder par récurrence. Si les deux
dérivées d'ordre p-2 sont égales sur un voisinage V de a, on leur applique
le théorème 16.6, on conclut. Mais l'égalité uniquement en a des deux
dérivées d'ordre p - 2 antérieures ne permet plus d'appliquer le théorème
16.6. Pour obtenir l'égalité des deux dérivées d'ordre p-2 sur un voisinage
de a, il faut donc des hypothèses de continuité sur un voisinage et non en
un point.
Une mise en forme correcte sera faite au paragraphe 4, où on verra
comment intervient le groupe symétrique d'ordre n.
Pour l'instant, on peut se borner à dire que :
DÉFINITION 16.9. - Une fonction f de n ouvert de !Rn dans R est dite de
classe (JP sur n si ses dérivées de tout ordre total q ~ p existent sur n et
sont continues sur n.
On a donc, pour f de classe CP, si deux dérivées d'ordre total q ~ p
ne diffèrent que par l'ordre des dérivations, elles sont égales.
2. Différentiabilité
Il s'agit d'une notion destinée à généraliser celle de dérivabilité lorsque
la variable n'est plus réelle, et pas seulement lorsque la variable n'est
pas dans un corps, car lorsque f est une fonction de variable complexe
à valeurs complexes nous avons vu, (Théorème 13.68) que sa dérivabilité
est autre chose qu'une différentiabilité.
DÉFINITION 16.10. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, n un
ouvert de E, f une application de f2 dans F. Elle est dite différentiable en
xo si et seulement si il existe une application linéaire continue u de E dans
F telle que pour h voisin de 0 dans E, f(xo+h)- f(xo)-u(h) = o(llhll).
Ce o(llhll) signifie que la quantité f(xo + h) - (xo) - u(h) s'écrit
sous la forme llhlla(h), la fonction a étant définie pour h =/= 0, (on divise
Analyse fonctionnelle
x1, ... , Xn faisant intervenir le même nombre de dérivations par rapport
à chaque Xi> existent dans un voisinage V de a, et sont continues sur ce
voisinage, elles sont égales.
Attention au changement d'hypothèses : on suppose la continuité sur
un voisinage V de a. En effet, ces deux dérivées sont les dérivées secondes
de deux dérivées d'ordre p - 2. On va procéder par récurrence. Si les deux
dérivées d'ordre p-2 sont égales sur un voisinage V de a, on leur applique
le théorème 16.6, on conclut. Mais l'égalité uniquement en a des deux
dérivées d'ordre p - 2 antérieures ne permet plus d'appliquer le théorème
16.6. Pour obtenir l'égalité des deux dérivées d'ordre p-2 sur un voisinage
de a, il faut donc des hypothèses de continuité sur un voisinage et non en
un point.
Une mise en forme correcte sera faite au paragraphe 4, où on verra
comment intervient le groupe symétrique d'ordre n.
Pour l'instant, on peut se borner à dire que :
DÉFINITION 16.9. - Une fonction f de n ouvert de !Rn dans R est dite de
classe (JP sur n si ses dérivées de tout ordre total q ~ p existent sur n et
sont continues sur n.
On a donc, pour f de classe CP, si deux dérivées d'ordre total q ~ p
ne diffèrent que par l'ordre des dérivations, elles sont égales.
2. Différentiabilité
Il s'agit d'une notion destinée à généraliser celle de dérivabilité lorsque
la variable n'est plus réelle, et pas seulement lorsque la variable n'est
pas dans un corps, car lorsque f est une fonction de variable complexe
à valeurs complexes nous avons vu, (Théorème 13.68) que sa dérivabilité
est autre chose qu'une différentiabilité.
DÉFINITION 16.10. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, n un
ouvert de E, f une application de f2 dans F. Elle est dite différentiable en
xo si et seulement si il existe une application linéaire continue u de E dans
F telle que pour h voisin de 0 dans E, f(xo+h)- f(xo)-u(h) = o(llhll).
Ce o(llhll) signifie que la quantité f(xo + h) - (xo) - u(h) s'écrit
sous la forme llhlla(h), la fonction a étant définie pour h =/= 0, (on divise