Calcul différentiel
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8f
8f
avec 6 entre xo et a: et (Gy 0 )'(x) = - 8 (x, Yo) - - 8 (x, (3). On a donc
X
X
-
et comme on peut appliquer la formule des accroissements finis à la
fonction qui à y associe ~~ ( 6 , y), entre YO et (3, il existe T/1 entre YO
et (3 tel que
Mais alors pour tout (xo, yo) de V tel que xo =F a: et Yo =F (3, on a
trouvé { et 6 entre xo et a:, T/ et T/1 entre Yo et (3, tels que
Il ne reste plus qu'à faire tendre xo vers a: et yo vers (3.
Alors ( e, T/) et ( 6, T/1) tendent vers a = (a:, (3), et les dérivées secondes
8 2 !
8 2 ! ,
.
8 2 !
8 2 !
- 8 8 et - 8 8 etant continues en a, - 8 8 ({,TJ) tend vers - 8 8 (o:,(3)
xy
yx
xy.
xy
alors que ::x (6, T/1) tend vers :::x (a:, (3). Ces deux quantités étant
égales, à la limite on obtient bien
•
COROLLAIRE 16.7. - Soit 0 un ouvert de Rn, n ;;;.: 2, f une application
8 2 !
8 2 !
de n dans R telle que, pour i =fa j, 8 8 (x) et 8 8 (x) existent
Xi Xj
Xj Xi
pour x obtenu à partir de a = (o:i, ... , O:n), en ne faisant varier que Xi
dans un voisinage de O:i et Xj dans un voisinage de O:j· Si ces dérivées sont
continues en a elles sont égales.
En effet, Vk =Fi, k =F j, on fixe Xk = O:k et on a une fonction de deux
variables seulement donc le théorème 16.6. s'applique.
COROLLAIRE 16.8. - Soit n un ouvert de Rn, n ;;;.: 2, f une application
de 0 dans R. Si deux dérivées d'ordre total p par rapport aux variables