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Analyse fonctionnelle
On forme la quantité (xo, Yo) = f(xo, Yo) - /(a, Yo) - f(xo, {3) +
f(a,{3), avec (a.,{3) =a et z = (xo,Yo) dans un voisinage V de a qui
sera précisé un peu plus tard, patience.
Si, pour xo fixé, on note Fx 0 la fonction y""'+ Fx 0 (y) = f(xo,y) -
f(a,y) il vient (xo,Yo) = Fx 0 (Yo) - Fx 0 ({3).
Or, toujours avec xo fixé, la fonction Fx 0 est dérivable sur le segment
d'extrémités YO et f3 : on peut lui appliquer la formule des accroissements
finis, (1bme.2, Théorème 7.29). Il existe donc TJ, fonction de Yo, et aussi de
xo, entre f3 et yo, tel que (xo, Yo) = (yo - f3)(Fx 0 ) 1 (TJ).
âf
âf
.
On a (Fx 0 ) 1 (y) = ây (xo, y) - ây (a, y). (N'oublions pas que Fx 0 est
une fonction de y.) On a donc
( âf
âf
)
(xo, Yo) = (Yo - {3) ây (xo, TJ) - ây (a, TJ) •
Mais, on considère cette fois que YO est fixé, et que c'est x qui varie, de
façon que (x, Yo) reste dans V. On a TJ fixé, et la fonction x ""'+ :~ (x, TJ) est
à son tour dérivable, et on peut lui appliquer la formule des accroissements
finis, entre xo et a, d'où l'existence de e. fonction de XQ, et de Yo. entre X
et a, tel que :
âf
âf
a 2
ây (x0 , TJ) - ây (a, TJ) = (xo - a) âxây (e, TJ)
et finalement, au couple ( xo, Yo) de V on a associé ( e, T/) de V tel que
a 2 1
(xo, Yo) = (xo - a)(Yo - {3) âxây (e, TJ).
J'aurai du préciser au départ que, toutes les normes sur IR 2 étant équivalentes et donnant la topologie produit, on prend un voisinage ouvert V
du type ]a - r, a+ r[ x ]{3 - r, f3 + r[, (pour Il 11 00 ). Comme cela, pour
(xo, Yo) dans V les (x, y) avec x entre xo et a et y entre Yo et f3 sont
dans V. Mais vous savez ce que c'est, on n'est pas toujours très frais, il
est de bonne heure et je ne suis pas encore bien réveillé. Enfin, mieux
vaut tard que jamais ...
On inverse les rôles, et en notant Gy 0 la fonction de x définie par
Gy 0 (x) = f(x, Yo) - f (x, {3), il vient
(xo, Yo) = Gy 0 (xo) - Gy 0 (a) = (xo - a)(Gy 0 ) 1 (fa)