Calcul différentiel
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Et si, n'ayons pas peur d'imaginer, les dérivées partielles d'abord par
rapport à x;, puis par rapport à Xi existaient, on disposerait de la fonction
a 2 1
a a . Sont-elles égales? Non. C'est bien dommage, car cela aurait
Xi Xj
simplifié l'écriture!
EXEMPLE 16.5. - On définit f : IR 2 f-+ R par f (0, 0) = 0, et si
x2-y2
(x, y) =j:. (0, 0), par f(x, y) = xy 2
2 ·
X +y
Pour (x, y) =j:. (0, 0) on a
a1
x2 - y2
4x2y3
ax (x,y) =y x2 + y2 + (x2 + y2)2
a1
x2 y2
4x3y2
- (x,y) =X--=---=
ay
x2 + y2 (x2 + y2)2
et
alors que âf (0, 0) = lim f(x, O) - f(O, O) = lim Q = O
âx
X->0
X
x->OX
et que
âf (OO)_ 1 . f(O,y) - /(0,0) _ 1 . Q _ O
,
-lm
- l m - .
8y
y->O
y
y->O y
âf
âf
8 2 1
-(o,y) - -(o,o)
-y
Ona - - (0,0) = lim âx
âx
= lim - = -1
âyâx
y->O
y
y->O y
a1
âf
a21
-â (x, 0) - -â (0, 0)
- - (0, 0) = lim Y
Y
= lim ~ = 1.
8xây
x->0
X
x->0 X
et
Cet exemple montre l'importance de la convention de notation des
dérivées partielles : :::y signifie que l'on dérive d'abord en y puis en
x. Il n'y a alors pas d'ambiguïté. Mais le monde est mal fait, et on emploie
parfois la notation t;x pour signifier que l'on a d'abord dérivée en y puis
en x. Comprenne qui peut! Il est peut être plus sage de n'utiliser t;x
que dans le cas où ff;x = f/:y, dans le cas où le théorème de Schwarz
s'applique par exemple.
THÉORÈME 16.6. (de Schwarz). Soit n un ouvert de IR 2 , f une application de
0 dans IR. Si les deux dérivées partielles d'ordre 2, :::y et :::x existent
sur un voisinage de a dans 0, et sont continues en a, elles sont égales.