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Analyse fonctionnelle
16.1. Dérivées partielles
Soit donc n un ouvert de Rn, f une application de n dans F espace
vectoriel normé. Soit a= (a1, a2, ... an) dans O.
Si X = (xi, x2, ... , Xn) est l'élément générique de n, on dit que
f admet en a une dérivée partielle par rapport à Xi si l'application
'Pi: Xi~ /(ai, ... , Cl!i-1'Xi,ai+1, ... ,an) est dérivable en ai.
Il faut bien voir que, puisque l'application qui à Xi associe le n-uplet
(a1, ... , ai-1, Xi, ai+l, ... , an) est continue, (ses fonctions composantes
le sont, n - 1 étant constantes, l'autre l'idendité), et qu'elle envoie ai sur
a dans n ouvert, il existe un voisinage V(ai) de ai dans R sur lequel 'Pi
est définie, et on peut chercher la dérivabilité de 'Pi en ai.
16.2. On notera 8
81 (a) cette dérivée partielle si elle existe: c'est donc
Xi
ôf (a)=
ÔXi
Si F, espace d'arrivée est égal à JRP, la dérivée partielle de f en a,
par rapport à Xi, existe, si et seulement si chaque fonction composante
f; : n t--t IR, (j = 1, ... ,p) admet en a une dérivée partielle par rapport
àxi.
16.3. Dérivées d'ordre supérieur
Supposons alors, avec n ouvert de Rn, et f : n t--t IR, que f admette
en chaque a den une dérivée partielle par rapport à Xi. On définit ainsi
une nouvelle fonction notée 8
8 f , sur n. Mais à son tour, cette fonction
Xi
:~ peut admettre une dérivée partielle par rapport à X j en tout a de f2
ce qui nous conduit à introduire la fonction
a( ôf)
2
16 4
ÔXi
,
.
ll
Ô f
.
. . ô
, notée conventionne ement ô ô , comme s1 on compoXj
Xj Xi
sait les opérateurs 8
8 et 8
8 agissant l'un après l'autre.
Xj
Xi