CHAPITRE 16
Calcul différentiel
Au seuil d'une nouvelle théorie, il est peut être bon de faire le point
sur ce que l'on connaît, concernant la dérivation.
1. Rappels sur les fonctions de plusieurs variables
Nous avons vu, lors de l'étude des espaces topologiques produits (Tome
2, chapitre 1, §6), que si f est une application de X topologique dans
p
l'espace produit F = II Fj, de composantes les fj, on a f continue
j=l
en xo de X si et seulement si chaque f j est continue en xo, (Tome 2,
Théorème 1. 79), et plus généralement, si B est une base de filtre sur X,
on a lim/ = l existe si seulement si, pour chaque espace F;, limf; = l;
B
B
existe, et l =(li, l2, ... , lp) : c'est le Théorème 1.83 du Tome 2.
n
Par contre, si X est lui-même un espace produit : X = II Ei,
i=l
les choses sont moins simples : c'est ce qui a conduit à parler de continuité partielle et de voir que la continuité de f : X t--t F en
a = ( 01 , . : . , On) implique la continuité partielle de chaque application
Xi~ /(01, ... ,ai-1,Xi,ai+i. ... ,an) en Oi mais que la réciproque est
fausse, (Tome 2, Théorème 1.81).
Qu'en est-il de la dérivation?
Pour parler de dérivée, on suppose que l'espace de départ est ~n, muni
de la topologie usuelle, qui est celle associée à n'importe quelle norme de
~n, puisqu'elles sont toutes équivalentes, (Tome 2, Théorème 6.28). Nous
avons vu lors de l'étude des espaces métriques, que cette topologie est
encore la topologie produit construite à partir de celle de R