Séries de Fourier
309
1
.
f (x + 0) + f (x - 0)
C par morceaux est telle qu'en tout pomt f(x) =
2
:
le théorème de Dirichlet s'applique donc f est égale à sa série de Fourier. On
11'-X
7r-(27r+X)
-11'-X
af(x) = - 2 - sur]0,7r] etf(x) =
2
= - 2 -
sur [-7r,0[:
f est impaire, donc les an = .! 111" f(t)cosnt dt sont nuls (n > 0) ainsi
71' -71"
1 171"
que ao = 2
f(t) dt.
71' -71"
Puis bn = ~ 1: f(t)sin nt dt
parties:
2 r 11'-t . d •.
= ; Jo - 2 - smnt t smtègre par
bn = .! ([-cosnt(7r-t)]'ll" _ ['Il" cosnt dt)=.!(?!:)=.!,
71'
n
o } 0
n
71' n
n
OO
•
d ,,71'-X=~sm(nx)
]0 2 [
ou 2
L....,,
n
sur , 71'.
n=l
S'il y avait convergence uniforme sur [O, 271'], la fonction somme serait 271'
é . di
.
l"
71' - X
71'
l"
71' - X
-11'
'
p no que continue, or lm - 2 -
= - 2 et
lm_ - 2 -
= - 2 : c est
X-+0+
X-+211"
exclu.
1
t 11'-X
-(7r-t)2
71' 2
Soit g(t) = 'Il" - 2 - dx =
4
, sur [O, 271'], on a g(O) = - 4 et
2
g(27r) = - ~ , donc si on définit g par 271' périodicité sur R elle est continue,
de classe C 1 par morceaux, il y a convergence uniforme de sa série de Fourier
vers la "fonction g.
11'-X
Or pour x E [c5, 271' - c5] avec 0 < c5 < 71' , on a - 2 - = f(x) =
OO
•
~ sm(nx)
.
L....,, --n- avec une convergence uniforme sur [c5, 271' - c5] comme le montre
n=l
une transformation d'Abel appliquée à t sinsnx) , avec une majoration de
n=p
l tsinxl ~ - ,
.
1
xi~~,
n=r
sm2
sm2
uniforme en x, d'où un critère de Cauchy vérifié uniformément en x.
On a donc, sur [c5, 271' - c5],
OO 11t
g(t) = L;;: s~n(nx) dx
n=l
'Il"