308
Analyse fonctionnelle
9.
vers j), donc il y a convergence uniforme pour r E (0, 1] dans cette série
entière, (Théorème 13.18), d'où continuité et
lim _!,_ {21r
(1 - r2)f(t)
dt= F(l)
r--+1- 271" } 0 1 - 2r cos(x - t) + r2
CXl
soit encore
= ~o + L(an cosnx + bn sin nx) = f(x).
n=l
1 {21r
Une remarque préalable: ici ao = 2 71" Jo f(t) dt.
Comme f est continue 271" périodique, la série des lanl 2 converge, (et sa
{21r
somme vaut 2 ~ Jo 1!1 2 , vu l'égalité de Bessel). De même, la série des
lbnl 2 converge, et comme on a l2anbnl ~ lanl 2 + lbnl 2 , la série des
anbn est absolument convergente. En notant Un la fonction qui à x associe
anbn cosnx, on a llunll
CXl
x--+ h(x) = L anbn cosnx.
n=O
De plus cette fonction h est 271" périodique, paire, et si on calcule ses
coefficients de Fourier, on a, pour n #- 0
avec convergence normale de la série, d'où
1 CXl
121r 1
en(h) =;: L akbk
2 (cos(k + n)x + cos(k - n)x)dx.
k=O
O
1
21r
Comme 0
cos px dx vaut 271" si p = 0, et 0 si p #- 0, on a en(h) = anbn
pour n #- 0, mais on aurait aussi co(h) = aobo.
La série des anbn cos nx est donc la série de Fourier de h, et elle converge
uniformément vers h qui est égale à sa série de Fourier.
10. On définit f, 271" périodique, par f(O) = 0, f(x) = 7r; x sur JO, 27r( et
f(27r) = O. On a lim f = lim f = -~ 2 et lim f = ~ 2 donc
X--+21rX--+O+
f(O) = f(o+); f(O-). La fonction f, continue par morceaux, de classe
Analyse fonctionnelle
9.
vers j), donc il y a convergence uniforme pour r E (0, 1] dans cette série
entière, (Théorème 13.18), d'où continuité et
lim _!,_ {21r
(1 - r2)f(t)
dt= F(l)
r--+1- 271" } 0 1 - 2r cos(x - t) + r2
CXl
soit encore
= ~o + L(an cosnx + bn sin nx) = f(x).
n=l
1 {21r
Une remarque préalable: ici ao = 2 71" Jo f(t) dt.
Comme f est continue 271" périodique, la série des lanl 2 converge, (et sa
{21r
somme vaut 2 ~ Jo 1!1 2 , vu l'égalité de Bessel). De même, la série des
lbnl 2 converge, et comme on a l2anbnl ~ lanl 2 + lbnl 2 , la série des
anbn est absolument convergente. En notant Un la fonction qui à x associe
anbn cosnx, on a llunll
CXl
x--+ h(x) = L anbn cosnx.
n=O
De plus cette fonction h est 271" périodique, paire, et si on calcule ses
coefficients de Fourier, on a, pour n #- 0
avec convergence normale de la série, d'où
1 CXl
121r 1
en(h) =;: L akbk
2 (cos(k + n)x + cos(k - n)x)dx.
k=O
O
1
21r
Comme 0
cos px dx vaut 271" si p = 0, et 0 si p #- 0, on a en(h) = anbn
pour n #- 0, mais on aurait aussi co(h) = aobo.
La série des anbn cos nx est donc la série de Fourier de h, et elle converge
uniformément vers h qui est égale à sa série de Fourier.
10. On définit f, 271" périodique, par f(O) = 0, f(x) = 7r; x sur JO, 27r( et
f(27r) = O. On a lim f = lim f = -~ 2 et lim f = ~ 2 donc
X--+21rX--+O+
f(O) = f(o+); f(O-). La fonction f, continue par morceaux, de classe