Séries de Fourier
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Pour r E] - 1, 1(, la série des rne-inB et celle des rneinB convergent
normalement en (), et on a
2
OO
1 - r
= _ 1 + ~ rn(e-in9 + ein9)
1 - 2r cos () + r2
L.,,
n=O
OO
OO
= -1+L2rn cosn() = 1+2 L rn cosn9,
n=O
n=l
donc
1 1 2 .,.. (1 - r 2 )f(t) d
-
t
271" 0 1 - 2r cos(x - t) + r2
l 1211" (
+oo
)
= 2 71"
1+2 L rn cosn(x - t) f(t) dt.
0
n=l
Comme f est bornée sur (0, 27r], (continue et (0, 27r) compact), il y a aussi
convergence normale de la série des rncos n(x-t)f(t), on peut donc intégrer
terme à terme, et obtenir, pour r E) - 1, 1 [,
_!_ 12.,..
(1 - r2)f(t)
dt
271" 0 1 - 2r cos(x - t) + r2
1 1211"
1 OO
1211"
= 2 71"
f(t) dt+;: L rn cosn(x - t)f(t) dt.
0
n=l
0
Or .! 1
2
.,.. cosn(x - t)f(t) dt= .! 1
2
.,.. (cosnx cos nt f(t)
7r 0
7r 0
+sinnx sinntf(t)) dt
= cosnx an(!)+ sin nx bn(f),
les an(!) et bn(f) étant les coefficients de Fourier de f, encore notés an et
:
11211"
bn. Comme -
f(t) dt= ao, on a bien
7r 0
1
211"
2
00
1
(1 - r )f(t)
ao
.
n
- 2
1 2
(
)
2 dt= - 2 +~(an cosnx+bnsmnx)r .
7r 0
-
rcos x-t +r
L.,,
n=l
Si on note F(r) le second membre, pour x fixé, c'est une série entière en r
qui converge pour r = 1, (vu la convergence uniforme de la série de Fourier