306
Analyse fonctionnelle
second membre. On a :
7r e 2 a7r: + 1
1
7r
(2 + 2a11" + 2a 2 7r 2 + o(a 2 )
1
2a e2a7r: - 1 - 2a2 = 2a
4
- 2a2
(2a11" + 2a 2 7r 2 + 3 a37r3 + o(a3))
211"
(1 + a1!" + a 2 7r 2 + o(a 2 ))
1
(2a)(2a7r) (l + a1!" + ~a211"2 + o(a2)) - 2a 2
1[
22
222
22
= 2 a 2 (1 + a1!" +a 7r )(1 - a11" - 3 a 11" +a 11" )
+ o(a 2 ) -1]
= 2~2 (1 +a2(7r2 -11"2 + ~2) +o(a2)-1)
11"2
= 6 +o(l):
OO
2
on trouve bien, à la limite quand a tend vers 0, L : 2 = ~ .
n=l
8. Comme f est de classe C 1 , 211" périodique, sa série de Fourier converge
uniformément vers f.
Puis 1 - 2r cos8 + r 2 = 0, en tant que trinôme en r, pour r = cos8 ±
(cos 2 8-1) 1 1 2 = cos8±i sin8, donc 1-2r cos8+r 2 = (r-ei 8 )(r-e-i 8 ).
Donc
1 _ e2i8
1 _ e-2i8
1 - r 2
ei8 _ e-i8
e-i8 _ ei8
1 - 2r cos 8 + r2 = - l + r - ei8 + r - e-i8 '
soit pour 8 =/:- 0 ( 7r),
1 - r2
1
(
1 - e2i8
1 - e-2i8 )
1- 2r cos8 + r2 = -l + 2i sin8 - ei8(1- re-i8) + e-i8(1- rei8)
__ 1 __ 1_ ( +2i sin8
2i sin8)
-
+ 2i sin8 (1 - r e-i8) + 1 - rei8
1
1
= -1 +
. 8 +
. 8 , valable î/8.
1 - re-i
1 - rei