Séries de Fourier
305
11211"
11271"
En posant an= -
f(x)cosnx dx et bn = -
f(x)sinnx dx on
11" 0
11" 0
a
.
.
(e 2 a,,. - l)(a - in)
.
•
soit an+ ibn=
( 2
2 )
, ceci pour a f= 0, car n peut etre nul,
11" a +n
d'où
a(e 2 a11" - 1)
n(l - e 2 a,,.)
an = 7r(a2 + n2) et bn = 7r(a2 + n2) .
En 0, on a lim f(x) = lim f(x) = e 2 a,,., et l'égalité
x--+271"f (x + 0) + f (x - 0) ao
00
•
g(x)=
2
=2+L(ancosnx+bnsmnx)
n=l
donne, en 0,
e 2 a,,. + 1 _ a(e 2 a,,. - 1) + ~ a(e 2 a,,. - 1) .
1
2
-
27ra2
~
7r
-a2~+-n-2
n=l
d'où l'on tire :
00
1
11"
e 2 a71" + 1
1
~
- - ·
- - pouraf=O
L....,, a2 + n2 - 2a e2a,,. - 1
2a2 '
·
n=l
·
1
Si on définit Un : R ~ R par un(a) =
2
2 , on a, (n ~ 1),
n +a
llunlloo = ~ : il y a convergence normale de cette série de fonctions donc
n
continuité de la fonction somme. Un passage à la limite si a tend vers 0
OO
donnera la valeur de L : 2 • On prend donc un développment limité du
n=l