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Analyse fonctionnelle
soit
an= 2-(_1_ - _1_ - (-l)n+l - (-1r- 1 ),
271" n+l
n-1
n+l
1-n
donc
1( 1
1
1
1 )
a 2 n=27r 2n+l -2n-1 +2n+l -2n-1
-2
= 7r(4n2 - 1)'
alors que a2n+l =O.
Puis
Donc
1 r
[ 1 . ]' Ir
ai= 2 71" Jo sin2x dx = - 4 71" cos2x 0 = 0 et
1("
a-1 = 2 71" Jo sin2x dx =O.
+oo
g(x) = lsinxl = ao + ' °" -2 (e2inx + e-2inx)
LJ 7r(4n 2 - 1)
n=l
OO
2 ' °" 4 cos 2nx
= ;;: - LJ 7r(4n2 - 1)°
n=l
Comme cos 2nx = 1 - 2 sin 2 nx, on a finalement
2
4
00
1
8
00
sin 2 nx
.
g(x) = - - - ' °" 4 2 1 + - ' °" 4 2 1 = lsmxl.
7rLJnn=l
n=l
.
8
00
sin 2 nx
Comme g(O) = 0, on a forcément lsmxl = ;;: L 4 n 2 _ 1 ; et on peut vérn=l
ifier que ~ - i ~ - 1 - = ~ (1 - ~ ( - 1 - - - 1 - ) ) c'est
7r
7r LJ 4n2 - 1
7r
LJ 2n - 1 2n + 1
n=l
n-1
; [ 1 -N~~oo( 1 -~+G-D+ ... +(2N
1
-1-2N
1
+1))] =
o.
7. La fonction considéré est de classe C 1 par morceaux donc (théorème de
Dirichlet) il y a convergence simple de sa série de Fourier vers
f (x + 0) + f (x - 0)
g: x-v-+
2
.