Séries de Fourier
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en sin nt, nul en 0 et 11", d'où an = -~ fo'lr t cosnt dt qui s'intègre par
parties.
On a u = t, dv = cos nt dt d'où du = dt, v = .! sin nt et
n
an= --smnt - -
smntdt = - --1 ([t . ]' Ir 1 fo'lr . ) 1 [-cosnt]'lr
2
n
o n 0
2n
n o
= 2!2 (1 - (1r).
+oo
1
, .
"'"""' cos(2k + 1 )x
donca2k = Oeta2k+i = ( 2 k + l)2 dou, \:/x E R,g(x) = L.J ( 2 k + l)2 ;
k=O
avec g(x) = f(x) = i(7r - 2x) sur (0, 7r]. En posant 2x = t, il vient, pour
t E (0,211"],
ce qui était cherché.
6. On considère la fonction, paire, g, continue, de classe G 1 par morceaux,
valant g(x) = sinx sur (0, 7r], et 271" périodique, (c'est-à-dire g définie par
g(x) = lsinxl>. La série de Fourier converge uniformément vers g, donc
g(x) = L aneinx avec
nEZ
On change x en -x dans la première intégrale, d'où
an= 2
1 11r sinx(inx + e-inx)dx = .! {'Ir sinx cosnx dx
11" o
11" lo
= 2 ~ fo'lr (sin(n + l)x + sin(l - n)x)dx.
Pour n #- 1 et n #- -1,
an= _.!._ ( [-cos(n + l)x] 'Ir_ [cos(l - n)x] 'Ir) ,
271"
n+l
o
1-n
o