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Analyse fonctionnelle
On a alors convergence uniforme vers 0 des suites de termes généraux Vn ( x)
et Wn(x). Si on prouve que ceci implique O!n et a~ tend vers 0 (et aussi f3n
et (3~ tend vers 0) on aura la conclusion.
On est donc rassurée à traiter le cas réel de vn(x).
Ona
vn(x)=../a~+a:i2( O!n cosnx+ a~ sinnx)
../a~ + a:i2
../a~ + a:i2
(si (an, a~) ::/:- (0, 0), le cas an =a~ = 0 ne posant pas problème dans la
1
limite). Soit 8n tel que cos 8n =
O!n
et sin 8 =
O!n
on a
../a~ + a:i2
../a~ + a:i2
Vn(x) = ../a~+ a:i2cos(nx - 8n), avec 8n E [O, 27r].
Pourx E [a,(3],nx E [na,n(3] avec lim (n(3-na) = +oodoncilexiste
n-++oo
Xn E [a, (3] tel que nxn - 8n = 0 (modulo 271") pour n assez grand, d'où
vn(xn) = ../a~ + a:i2.
La convergence uniforme de la série des Vn implique le critère de Cauchy
uniforme en x donc en particulier on a
Ve> 0, 3no, Vn ~no, ' En particulier, Vn ~ no, lvn(xn)I ~ e, on a donc Ve > 0, 3no, Vn ~ no •
../an+ a:i2 ~ e, ce qui donne bien la convergence des deux suites des O!n
et des a~ vers 0, et finalement lim an = lim bn = O.
n-++oo
n-++oo
5. Soit la fonction valant i (7r -x) sur [O, 27r], définie par parité sur [-271", O],
(donc f(x) = i (7r + x) sur [-27r,0)), puis définie sur R par périodicité
de période 471". La fonction g : x ~ g(x) = f(2x) est 27r périodique,
continue, de classe C 1 par morceaux donc sa série de Fourier converge
+oo
uniformément vers g. De plus, g est paire, donc on a g(x) =Lan cosnx
n=O
1 1211"
11211"
avec ao = - 2
g(t) dt et an= -
g(t) cos nt dt pour n ~ 1.
71" 0
71" 0
Par partié de g, (et des fonctions cosinus), et par périodicité
ao = -
g = -
g = -
.!(7r - 2x)dx = -[7rx - x 2 ]g
1111" 1111" 1111"
1
271" -11" 71" 0
71" 0 8
8
soit ao = O; puis an=.! 111" g(t)cosnt dt=~ 111" .! 8 (7r - 2t)cosnt dt,
71" -11"
71" 0
1111"
1111"
donc an = 4 0
7r cos nt dt - 2 0 t cos nt dt. L'intégrale du cos nt est