Séries de Fourier
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continuité. On a donc :
1 [
n eik(x-t) l 7r
Sn(x) = 2 71" F{t) k~n k
k#O
-1r
i 11r
(
ei{n+l){x-t) _ e-in(x-t))
+ - 2
F(t) -1 +
·c t)
dt.
71" -1r
&X- -1
=J_(F(7r) ~ eikx(-l)k -F(-7r) ~ eikx(-l)k)
271"
-~
k
~
k
k=-n
k=-n
k#O
k#O
i 11r
i 11r
ei{n+l){x-t) _ e-in(x-t)
- - 2
F(t) dt+ - 2
F(t) ·
·c t)
dt,
71" -1r
71" -1r
& X- - 1
expression dont on cherche la limite si n tend vers l'infini.
F(7r)-F(-7r) n eik(x-1r)
Les sommes se regroupent en
2 71"
L k ·
k=-n
k#O
n
Pour x = 71" (modulo 271"), il reste L ·~ = 0 par imparité, et six # 71"
k=-n
k#O
modulo {27r), la série converge par transformation d'Abel.
Pour la dernière intégrale, on peut penser utiliser le lemme de Lebesgue
(Théorème 15.24), mais pour cela il faudrait que la fonction t ~ ·c F~~)
e• x- -1
soit réglée. Il suffit pour cela de prendre pour F la primitive de f qui
s'annule en x, car alors, si t tend vers x, ei(x-t) - 1 ~ i(x - t) et
F(t) = F(t) - F(x) ~ (t - x)F'(x) = (t - x)f(x), le quotient aura une
limite. Avec cette primitive, la limite quand n tend vers +oo des intégrales
r . F(t) ei{n+l){x-t) dt et r . F(t) e-in(x-t)dt est
} _1r e•(x-t) - 1
} _1r e•(x-t) - 1
nulle. (Lemme de Lebesgue, 15.24).
Ona donc
r
S () - F(7r)-F(-7r)
n...!~oo n X -
271"
kEZ*
(=O si x=w)
F étant la primitive de f qui s'annule en x.
- - - - ....:_
F(t) dt
eik(x-1r)
· 11r
k
211" -1r
4. En posant an = an + if3n et bn = a~ + if3~ on obtient
un(x) = (an cosnx + a~sin nx) + i(f3n cos nx + (3~ sin nx)
= Vn(x) + iwn(x).