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Analyse fonctionnelle
C'est un polynôme en cos t.
Comme on a posé x = cos t, on obtient bien :finalement une suite de
polynômes en x qui converge uniformément vers jxj sur [-1, l].
3. La série des : 2 converge, celle des jckj 2 aussi, (égalité de Bessel). Pour
k =f. 0, on a:
1
Ck ikx 1
1 j j _,.,. 1
j 12
2 k e
= 2 · ikî Ck ' ::::: k2 + Ck ,
donc il y a convergence dominée, (donc uniforme) de la série des c: eikx :
la suite des Sn est uniformément convergente sur R.
1 1.,.. ( ik(x-t))
On a Sn(x) = 2 71" _.,.. f(t) k~n e k
dt, (on remplace ck par sa
k;l'O
valeur et on utilise la linéarité de l'intégrale). On intègre par parties pour
éliminer les ken dénominateur. Soit F une primitive de f, (continue). Avec
n
eik(x-t)
f(t)dt =du et L k = v
k=-n
k;l'O
n
on aura u = F et dv = -i L eik(x-t) dt.
k=-n
k;l'O
Pour x -t =f. 0 (27r), cette somme se calcule, (progression géométrique). Elle
vaut
l _ e-in(x-t) + ei(n+l)(x-t) _ ei(x-t)
---------,.-..,..-------, (attention à k =f. 0),
ei(x-t) - 1
ei(n+l)(x-t) _ e-in(x-t)
= -1 + ---,..,...----,----ei(x-t) - 1
Six - t tend vers 0 (modulo 271") l'expression tend vers -1+2n + 1 = 2n,
valeur de la somme pour x - t = 0 (27r), donc l'expression est valable par