Séries de Fourier
299
SOLUTIONS
1.
La fonction f étant continue, de classe C 1 par morceau, 211" périodique, il y
a convergence uniforme de sa série de Fourier vers f. Comme f est paire,
les coefficien~ dles.,..sin nx sont nuls.
On a: an= -
x 2 cosnx dx.
1r _.,..
1 [x 3 ].,.. 211" 2
Si n = 0, ao = ; 3 _.,.. = 3 , et pour n # 0 on intègre par parties,
d'où
D'où
1 ([ 2 sinnx].,..
21.,.. . )
an=x - -
- -
xsmnxdx
7r
n
_.,.. n _.,..
= -
xsinnxdx
-21.,..
n'lr _.,..
= -2 ([- x cosnx].,.. + 1.,.. cosnx dx)
n'lr
n
_.,..
_.,.. n
4(-l)n
=~
2
OO
f(x) = ~ + L(-l)n4c~nx·
n=l
OO
1
OO
1
OO
1
Posons S = L n2 ' U = L ( 2 p2 ) et V= L ( 2 p- l)2 .
n=l
p=l
p=l
On a U +V= S; et U = ~ S d'où V=~ S.
11"2
11"2
11"2
Or pour x = 0, f(O) = 0 = 3 - 4V + 4U = 3 - 38 + S, d'où S = 6'
2.
Pour x E (-1, 1), on pose x = cost, avec t E [-7r,7r).
La fonction t ~ !cos ti est 27r périodique, continue de classe C 1 par
morceaux, donc limite uniforme de sa série de Fourier. Comme elle est paire,
on a une expression du type
lcostl = N~~oo (a; +tan cos nt) ,
n=l
la limite étant uniforme, les an calculés par an = .! 1.,.. !cos ticos nt dt.
''Ir
_.,..
Puis
cosnt='R.e(cost+isint)n
= C~cosnt - C~cosn- 2 t(l - cos 2 t)
+ c!cosn- 4 t(l - cos 2 t) 2 + ...