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Analyse fonctionnelle
7. Développer en série de Fourier la fonction 271" périodique définie,
pour x E [O, 27r[ par : x """+ eax, (a réel).
·
OO
1
OO
1
En déduire L 2 2 puis L 2 ·
n=l n +a
n=l n
8. Soit (an)nEN et (bn)neN les coefficients de Fourier de f, 271" périodique, de classe C 1 de R dans R. Montrer que, pour r E] - 1, l[,
+oo
~o + L(an cosnx + bn sinnx)rn
n=l
1 1 2 11" (1 - r 2 )f(t)
= -
dt.
271" o 1 - 2r cos(x - t) + r2
Calcul
li 1
211" 1
(1 - r2)f(t)
d
er m
-
t.
r--+L o 271" 1 - 2r cos(x - t) + r2
9. Soit f et g deux applications de IR dans R, paires, 271" périodiques,
continues, égales aux sommes de leurs séries de Fourier :
OO
OO
f(x) = L ancosnx et g(x) = L bn cosnx.
n=O
n=O
OO
On définit h(x) = L anbn cosnx. Existence? Continuité? la
n=O
fonction h est-elle égale à la somme de sa série de Fourier?
OO
•
7r - x
"°' smnx
10. Montrer que sur JO, 27r[, - 2 - = L....t -n-. Prouver la nonn=l
convergence uniforme sur [O, 27r].
Calculer le développement en série de Fourier de g définie par
1
t11"-X
OO (-l)n
g(t) =
- 2 -dx,t E [0,27r].Endéduirelavaleurde L ~·
11"
n=l