Séries de Fourier
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expression qui montre la difficulté d'emploi de ce résultat à partir des
ep(f) puisque le passage de SN à SN+l nécessite la modification de tous
les coefficients de eipx.
EXERCICES
1. Développement en série de Fourier de f, 27r périodique telle que
OO
1
f(x) = x 2 sur [-7r, 7r]. En déduire la valeur de L 2·
n=l n
2. Montrer que l'application x ~ !xi est limite uniforme sur [-1, 1]
d'une suite de polynômes.
3. Soit f continue, 27!" périodique de R dans C. Les coefficients de
Fourier de f sont notés Ck· On pose, pour tout x réel,
4.
5.
6.
n
Sn(x) = L c: eikx.
k=-n
k#O
Déterminer Pn de telle sorte que Sn (X) = -
f ( t )Pn (X - t).
117r
7l" -'Ir
Etudier les suites Sn(O) puis Sn(x) pour x fixé dans IR. Convergence
uniforme des Sn?
Soit (an)nEN et (bn)nEN deux suites de nombres complexes. On
pose, pour x dans IR, Un ( x) = an cos nx + bn sin nx. On suppose
que la suite Un converge uniformément vers 0 sur [a, ,B] avec a < ,B.
Montrer que les deux suites (an) et (bn) tendent vers O.
( 1)
+oo cos n + - x
Montrer que pour x E]O, 27r[, on a ?: 8 (7r - x) = L ( ) 2 ·
n=O
2n+ 1
.
8 Loo sin 2 nx
Montrer que lsm xi = -
4 2
•
7r
n -1
n=l