Séries de Fourier
295
On a donc
1
271"
sin(N + 1) - 2 -
(
( X - t)) 2
SN(x) ~ 2~(N + 1) J. f(t) smT dt
et
(
x-t)2
1
1
271" sin(N + 1)- 2 -
1 =
&
27r(N + 1) 0
. X - t
sm-2
(calcul fait à partir de la fonction constante 1).
. .
f (x + 0) + f (x - 0)
On a donc, en multipliant 1 par
2
,
SN(x) _ f(x + 0) + f(x - 0) =
2
(
x-t)2
1
{271"(
f(x + 0) + f(x - 0)) sin(N + 1)-227r(N + 1) } 00 f(t) - ·
2
. x - t
dt.
sm-.
2
Comme dans le cas de la justification du théorème de Dirichlet, l'intégrale
de la fonction périodique, sur un période est indépendante du choix de la
période d'intégration. On intègre sur [x - 71", x + 7r], en coupant en x.
Sur [x - 71", x] on effectue le changement de variable x - t = 2u et sur
[x, x + 7r] on pose x - t = -2u. Tous calculs faits il vient
SN(x) _ f(x + 0) + f(x - 0)
2
1
r12
= 7r(N + l) Jo (f(x + 2u) + f(x - 2u) - f(x + 0)
-f(x _ O)) (sin(1: + l)u)2 du.
smu
1
{271" sin(N + 1)- 2 -
(
x-t)2
Partant de 1 = 2 7r(N + l) Jo
sin x; t
dt, les mêmes
transformations conduisent à
15.27.
1
171"/ 2 (sin(N + l)u) 2
1 =
.
du.
7r(N + 1) o
smu