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Analyse fonctionnelle
Abandonnons le f dans la notation PN(f)(x). En utilisant ce résultat
il vient
8 (x) = Po(x) + ... + PN(x)
N
N+l
_
1
{27r t ( N sin(2k + 1) X; t)
- 2tr(N + 1) } 0 f ( ) L . x - t
dt.
O
k=O
sm - 2 -
On a t sin(2k + 1) x; t =lm (t ei(k+~)(x-t)), on a une progresk=O
k=O
sion géométrique de raison ei(x-t), différente de 1 si x =fa t modulo 2tr,
hypothèse faite pour le calcul, le cas x = t étant examiné ensuite.
Ona
~ ei( k+~) (x-t) = ei( N+~) (x-t) - e~(x-t)
L.J
ei(x-t) - 1
k=O
·
e~(x-t) ei(N+l)(x-t) _ 1
i(o:-t)
e-22 . . x-t
ism- 2 -
2 . . (N 1) (x - t)
. N+i
ism
+ - - 2 -
= ei - 2-(x-t) . -------,-~2 .. X -t
ism- 2 -
, ( N sin(2k + 1)-x-;_t)
sin2(N + 1) _x_;_t
d'ou '"'= ---~~
L.J
. x-t
. 2 x-t
k=O
sm- 2 -
sm - 2 -
(
X -t)
sin(2k + 1) - -
Pour x-t = 0 (modulo 2tr) en fait
x _ t 2
vaut 2k+l (valeur
sin-2
N
N
obtenue par continuité) et on doit calculer L (2k + 1) = 2·Lk+N+1
k=O
k=O
N+l
soit encore 2 · N · - 2 - + N + 1 = (N + 1) 2 , valeur obtenue dans
l'expression précédente, par continuité, si t tend vers x, (modulo 2tr).