Séries de Fourier 293
REMARQUE 15.25. - Peut-il y avoir convergence uniforme des PN(J)(x)
.
f (x + 0) + f (x - 0)
vers la fonction x ....+ h(x) =
2
?
Si c'est le cas, les PN(J) étant continues, la fonction h l'est aussi. Soit
alors a un point de discontinuité de f supposée de classe C 1 par morceaux.
Dans un voisinage de a, privé de a, f coïncide avec h donc
f(a + 0) = h(a + 0) = h(a), (puisque h continue) et de même
f(a - 0) = h(a - 0) = h(a).
Si a est point de discontinuité c'est parce que f(a) est différent des
limites communes de f en a, à droite et à gauche. En fait la fonction f
est prolongeable par continuité en chaque discontinuité et on se retrouve
avec f continue, de classe C 1 par morceaux c'est-à-dire dans le cadre du
théorème 15.21.
La situation est donc claire :
si f est continue, (ou prolongeable par continuité) de classe C1 par
morceaux, elle est limite uniforme des PN (!) ;
si f est non prolongeable par continuité, de classe C 1 par morceaux, il n'y
f(x+O)-f(x-0)
a que la convergence simple des PN (!) vers la régularité
2
.
Et si f est seulement continue par morceaux ?
Alors, en calculant un peu plus, il y a convergence au sens de Césaro
des PN(J) vers la régularisée de f. C'est le théorème de Féjer.
THÉORÈME 15.26. (de Féjer) - Soit f une fonction 271" périodique de IR dans
C, continue par morceaux. On a en chaque x réel
lim
N-++oo
(Po(x) + P1(x) + ... + PN(x) f(x + 0) + f(x - 0)
=
N+l
2
La convergence au sens de Césaro étant la convergence des moyennes
arithmétriques calculées à partir de la suite initiale.
( X -t)
1
271"
sin(2N + 1) - -
On a vu, (15.23), que PN(J)(x) = 2 71" { f(t)
. x _ t 2
dt,
lo
sm-2
( X -t)
1
271" sin(2N + 1) - -
et, qu'avec la fonction constante 1, 1 = 2 71" r
. X _ t 2 dt.
lo
sm-2