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Analyse fonctionnelle
1re étape. Si cp(u) = cte = k sur [a,b], pour À =f. 0,
1b kei>.:u.du = i~ (ei>.b - eiÀa), et À étant réel, lei>.bl = leiÀal = 1 d'où
Il ke''"dul .; .2 :~: tend vers 0,; l .11 vers l'mfini
2e étape. Si cp est en escalier sur [a, b], avec xo = a < x1 < ... < Xn = b,
suite finie ordonnée de [a, b] telle que cp soit constante, (égale à kp) sur
]xp, Xp+l [, on a
somme den quantités ayant chacune 0 pour limite lorsque IÀI tend vers
+oo, vu la première étape.
3e étape. Si cp est réglée, il existe g en escalier sur [a, b] arbitrairement
proche, pour la norme de la convergence uniforme, de cp. On a donc :
'Ve > 0, 3g en escalier telle que l lcp - gl loo ~ 2 (b ~a), donc
'VÀ ER, l1b cp(u)ei>.udul = l1b (cp(u) - g(u))ei>.udul + l1b g(u)ei>.udul
~ 1b llcp - Ylloodu + l1b g(u)ei>.udul, donc
~ ~ + l1b g(u)ei>.udul.
Au même e > 0, on associe Ào > 0 tel que
IÀI ;;?; IÀol ::::? l1b g(u)ei>.udul ~ ~·(deuxième étape appliquée à g en
escalier), et finalement on a:
'Ve> 0, 3Ào > 0, 'VÀ E IR, IÀI ;;?; Ào::::? l1b cp(u)ei>.uul ~ e
c'est bien la traduction de lim 1b cp(u)ei>.udu =O.
J>.J->+oo a
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