Séries de Fourier
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O'N(x) = _..!:.._ (1° (!(x _ 2 u) _ f(x + 0) + f(x - 0)) sin(2~ + l)u (- 2 du)
211"
7r/ 2
2
smu
+ 17r/
2 (f(x+ 2u)-f(x+o);f(x-O)) sin(~::l)u 2 du)
117r/ 2
sin(2N + l)u
= -
(f(x + 2u) + f(x - 2u) - f(x + 0) - f(x - 0))
.
du.
7r o
smu
Que faire de cette égalité? Et bien, f étant de classe C 1 par morceaux,
et sin u équivalent à u lorsque u tend vers 0, se dire que peut-être
f(x + 2u) - f(x + 0)
. . .
.
a une hm1te s1 u tend vers O.
Slil U
Et oui! On définit alors, sur J 0, i J la fonction r.p par
r.p(u) = f(x + 2u) + f(x - 2~) - f(x + 0) - f(x - 0) :
Slil U
elle est de classe C 1 par morceaux. De plus lim r.p(u) = 2(! 1 (x + 0) -
u--+O+
f' ( x-0)), existe donc la fonction r.p est réglée sur [ 0, i J , (existence en tout
point d'une limite à droite et à gauche, Théorème 12.38). Or on dispose
du
LEMME DE LEBESGUE 15.24. - Soit r.p réglée sur un segment [a, b], on a
1 12'11"
ei(2N+l)u _ e-i(2N+l}u
Comme ON(x) = -
r.p(u) ·
.
du, il en
7r 0
2i
résulte bien que lim ON(x) = 0, d'où le théorème de Dirichlet.
•
N--++oo
Justification du lemme de Lebesgue. Utilisant le vieux principe de
« diviser pour régner», procédons par étapes.