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Analyse fonctionnelle
On a donc
15.23.
1 {2tr
sin(N+~)(x-t)
PN(f)(x) = 2 7r Jo f(t)
. (x _ t)
dt.
sm-2
Si on considère la fonction constante valant 1, ses coefficients de
Fourier sont :
1 {27r
1 {27r .
co(l) = 2 7r Jo 1 dt = 1 et pour n =f 0, en(!) = 2 7r Jo e-intdt = O
N
d'où PN(l)(x) = L en(f)einx = 1, et cette belle égalité 1 =
n=-N
1 la2trsin(N+~)(x-t)
.
,, . f(x+O)+f(x-0)
2 7r
. x _ t
dt, qui permet d ecnre
2
,
O
sm - -
2
sous forme d'intégrale, afin de considérer sa différence avec PN (!) ( x) sous
forme d'une intégrale. On obtient :
PN(f)(x) _ f(x + 0) + f(x - 0)
2
- 1 lo2tr (
f(x + 0) + f(x - 0)) sin(N + ~)(x - t)
- 2
f(t) -
2
X - t
dt.
7r o
sin - -
2
Notons ON(x) cette quantité. On intègre une fonction de t, 27r périodique, sur une période. Un calcul classique montre alors que l'intégrale
ne dépend pas de l'intervalle d'intégration, long d'une période. On intègre
sur [x - 7r, x + 7r], que l'on coupe en [x - 7r, x] et [x, x + 7r]. Sur [x - 7r, x]
on effectue le changement de variable t = x - 2u, (pour u variant dans
[ 0, iJ, et sur [x, x + 7r] le changement t = x + 2u, là encore pour u dans
[o, iJ. Il vient: