Séries de Fourier 289
4. Autres types de convergence
Il nous reste à examiner ce que l'on peut dire dans le cas des fonctions
non continues.
Pour les fonctions 271" périodiques, de classe ci par morceaux, la
situation sera assez bonne : on aura convergence simple vers la fonction
f (x + 0) + f (x - 0)
, ,
..
x -v+
2
. C'est le theoreme de D1nchlet.
THÉORÈME 15.22. (de Dirichlet) - Soit f une fonction 271" périodique de R
dans C, de classe ci par morceaux. Il y a convergence simple de la suite
de D (!)( )
l de .
f(X + 0) + f(Xo) de l" . , d .
s .rn
x vers a mi-somme
2
s imites a roite
et à gauche de f en x.
On aborde la partie la plus technique concernant les séries de Fourier,
partie dans laquelle la s
1
o~
2
~ion sym( é~que ~a ~aim)ent servir.
On a PN(f)(x) = 2 71" Jo J(t) n~N e-mtemx dt, (on multiplie
c,,,(f) par einx et on somme vu la linéarité de l'intégrale).
Or pour tout t- x =f. 0 modulo 271", ein(x-t) est le terme général d'une
progression géométrique de raison différente de 1, donc
N
L:
n=-N
.
ei(N+l)(x-t) _ e-iN(x-t)
ein(x-t) = ---~-~---ei(x-t) - 1
e-iN(x-t)
ei(2N+l)(x-t) _ 1
i(x-t)
-i(x-t)
e2
- e 2
=-~-e~ 2 . . (2N + l)(x - t)
.
.
i Slll-'----"'-'----'- -iN(x-t) -.l(x-t) .!.(2N+l)(x-t)
2
_ e
e 2
e2
t
2i sin x;
_ sin(N + ~)(x -t)
-
x-t
sin-2
Si t tend vers x, modulo 271", le quotient tend vers 2N + 1, valeur de
la somme pour t = x.