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Analyse fonctionnelle
La continuité de f permet alors, en sommant par rapport à j, d'avoir
en(!)= _i_[f(t)e-int]21r - _i_ [211" f'(t)e-intdt = _i en(!')
27rn
° 27rn Jo
n
puisque t ~ f(t)e-int est 211" périodique.
Mais la série des (en(f'))nez est de carré sommable; (égalité de Bessel
pour f' qui est continue par morceaux), ainsi que la série des -i, pour
n =/:- 0, donc la série des 1 ~i en(f')I converge, puisque 1 ! 1 ien~/')I ~
~ 2 + len(f')l 2 car ceci équivaut à 0 ~ (~ - len(f')1)
2 ce qui semble
évident, à condition de «connaître par cœur ses id.entités». Je profite
de ce passage pour vider ma bile. D'aucuns estiment les mathématiques
«intellectuellement mutilantes ». C'est leur droit. Mais c'est oublier un
peu vite que dans tout domaine de l'activité humaine un apprentissage
est nécessaire et que cet apprentissage est fastidieux. Le bébé qui bave
en prenant ses premières cuillères de soupe ou de compote doit vraisemblablement juger «mutilante » l'obligation qui lui est faite d'utiliser cet
ustensile. Celui qui profite des exercices de violon de l'enfant de son
voisin de palier doit trouver cette activité longuement mutilante (pour ses
oreilles ... ) Et pourtant tous nous comprenons la nécessité de ces apprentissages et nul ne vient protester contre le fait qu'on les impose aux enfants.
Il en est des mathématiques comme des autres activités humaines. On
ne pourra pas en faire sans un minimum d'apprentissage et s'il est vrai
qu'un examen superficiel des choses peut laisser paraître mutilante l'acquisition des règles de calcul (à l'époque des calculettes, pensez donc!) ou
des identités, une réflexion plus approfondie permettrait de voir qu'il est
impossible de faire des calculs sur des polynômes en sortant sa calculette
pour trouver les exposants!
Enfin, vouloir à tout prix, que ce que l'on étudie serve tout de suite, (à
quoi ça sert M'dame, ça sert à quoi M'sieur) me semble« intellectuellement
atrophiant». Comment envisager des projets d'avenir, avoir un peu d'envergure intellectuelle si on se laisse sans arrêt pièger à court terme. Comment s'étonner alors qu'en général les hommes politiques fassent de la
gestion à court terme, au coup par coup. Comment pourraient-ils demander d'être suivis dans un projet d'envergure par des hommes et des femmes
rebutés par les premières difficultés et omnubilés par ce fameux « à quoi
ça sert».
Revenons à nos moutons. La convergence absolue de la série des
len(f)I donne la convergence normale, donc uniforme de la série des
fonctions t ~ en(f)eint, d'où le théorème 15.21.
Analyse fonctionnelle
La continuité de f permet alors, en sommant par rapport à j, d'avoir
en(!)= _i_[f(t)e-int]21r - _i_ [211" f'(t)e-intdt = _i en(!')
27rn
° 27rn Jo
n
puisque t ~ f(t)e-int est 211" périodique.
Mais la série des (en(f'))nez est de carré sommable; (égalité de Bessel
pour f' qui est continue par morceaux), ainsi que la série des -i, pour
n =/:- 0, donc la série des 1 ~i en(f')I converge, puisque 1 ! 1 ien~/')I ~
~ 2 + len(f')l 2 car ceci équivaut à 0 ~ (~ - len(f')1)
2 ce qui semble
évident, à condition de «connaître par cœur ses id.entités». Je profite
de ce passage pour vider ma bile. D'aucuns estiment les mathématiques
«intellectuellement mutilantes ». C'est leur droit. Mais c'est oublier un
peu vite que dans tout domaine de l'activité humaine un apprentissage
est nécessaire et que cet apprentissage est fastidieux. Le bébé qui bave
en prenant ses premières cuillères de soupe ou de compote doit vraisemblablement juger «mutilante » l'obligation qui lui est faite d'utiliser cet
ustensile. Celui qui profite des exercices de violon de l'enfant de son
voisin de palier doit trouver cette activité longuement mutilante (pour ses
oreilles ... ) Et pourtant tous nous comprenons la nécessité de ces apprentissages et nul ne vient protester contre le fait qu'on les impose aux enfants.
Il en est des mathématiques comme des autres activités humaines. On
ne pourra pas en faire sans un minimum d'apprentissage et s'il est vrai
qu'un examen superficiel des choses peut laisser paraître mutilante l'acquisition des règles de calcul (à l'époque des calculettes, pensez donc!) ou
des identités, une réflexion plus approfondie permettrait de voir qu'il est
impossible de faire des calculs sur des polynômes en sortant sa calculette
pour trouver les exposants!
Enfin, vouloir à tout prix, que ce que l'on étudie serve tout de suite, (à
quoi ça sert M'dame, ça sert à quoi M'sieur) me semble« intellectuellement
atrophiant». Comment envisager des projets d'avenir, avoir un peu d'envergure intellectuelle si on se laisse sans arrêt pièger à court terme. Comment s'étonner alors qu'en général les hommes politiques fassent de la
gestion à court terme, au coup par coup. Comment pourraient-ils demander d'être suivis dans un projet d'envergure par des hommes et des femmes
rebutés par les premières difficultés et omnubilés par ce fameux « à quoi
ça sert».
Revenons à nos moutons. La convergence absolue de la série des
len(f)I donne la convergence normale, donc uniforme de la série des
fonctions t ~ en(f)eint, d'où le théorème 15.21.